I matematik, exponentiellt förfall beskriver processen för att reducera ett belopp med en jämn procentsats över en tidsperiod. Det kan uttryckas med formeln y = a (1-b)x vart i y är det slutliga beloppet, en är det ursprungliga beloppet, b är förfallfaktorn, och x är den tid som har gått.
Den exponentiella sönderfallsformeln är användbar i en mängd verkliga applikationer, särskilt för att spåra inventering som används regelbundet i samma kvantitet (som mat till en skolcafeteria) och det är särskilt användbart i dess förmåga att snabbt bedöma en långsiktig användningskostnad för en produkt över tid.
Exponentiellt förfall skiljer sig från linjärt förfall genom att förfallfaktorn förlitar sig på en procentandel av det ursprungliga beloppet, vilket betyder det faktiska antalet det ursprungliga beloppet kan reduceras med kommer att ändras med tiden medan en linjär funktion minskar det ursprungliga antalet med samma belopp varje tid.
Det är också motsatsen till exponentiell tillväxt, som vanligtvis inträffar på aktiemarknaderna där ett företags värde kommer att växa exponentiellt över tid innan de når en platå. Du kan jämföra och kontrastera skillnaderna mellan exponentiell tillväxt och förfall, men det är ganska enkelt: en ökar den ursprungliga mängden och den andra minskar den.
Delar av en exponentiell förfallsformel
Till att börja med är det viktigt att känna igen den exponentiella sönderfallsformeln och kunna identifiera var och en av dess element:
y = a (1-b)x
För att förstå användbarheten av sönderfallsformeln är det viktigt att förstå hur var och en av faktorerna definieras, med början med frasen "sönderfallsfaktor" - representerad av bokstaven b i formeln för exponentiell sönderfall - vilket är en procentandel med vilken det ursprungliga beloppet kommer att minska varje gång.
Det ursprungliga beloppet här - representerat av brevet en i formeln - är mängden innan förfallet inträffar, så om du tänker på detta i praktisk mening är det ursprungliga beloppet skulle vara mängden äpplen ett bageri köper och den exponentiella faktorn är procentandelen äpplen som används varje timme för att tillverka pajer.
Exponenten, som vid exponentiell förfall är alltid tid och uttrycks med bokstaven x, representerar hur ofta förfallet inträffar och uttrycks vanligtvis i sekunder, minuter, timmar, dagar eller år.
Ett exempel på exponentiellt förfall
Använd följande exempel för att förstå begreppet exponentiellt förfall i ett verkligt scenario:
På måndag betjänar Ledwith's Cafeteria 5 000 kunder, men på tisdag morgon rapporterar de lokala nyheterna att restaurangen misslyckas med hälsokontrollen och har - yikes! - åsikter relaterade till skadedjursbekämpning. Tisdag serverar cafeterian 2500 kunder. Onsdagen serverar cafeterian endast 1 250 kunder. Torsdag serverar cafeterian 625 kunder.
Som ni ser minskade antalet kunder med 50 procent varje dag. Denna typ av nedgång skiljer sig från en linjär funktion. I en linjär funktion, skulle antalet kunder minska med samma belopp varje dag. Det ursprungliga beloppet (en) skulle vara 5 000, förfallfaktorn (b ) skulle därför vara 0,5 (50 procent skrivet som decimal) och tidsvärdet (x) bestäms av hur många dagar Ledwith vill förutsäga resultaten för.
Om Ledwith skulle fråga hur många kunder han skulle förlora på fem dagar om trenden fortsatte, hans revisor kunde hitta lösningen genom att ansluta alla ovanstående siffror till den exponentiella sönderfallsformeln för att få följande:
y = 5000 (1 -5)5
Lösningen kommer till 312 och en halv, men eftersom du inte kan ha en halv kund, skulle revisorn göra det runda antalet upp till 313 och kunna säga att Ledwith på fem dagar kan förvänta sig att förlora ytterligare 313 kunder!