Vad är exponentiella tillväxtfunktioner?

Exponentiella funktioner berättar historier om explosiv förändring. De två typerna av exponentiella funktioner är exponentiell tillväxt och exponentiellt förfall. Fyra variabler (procentändring, tid, belopp i början av tidsperioden och belopp i slutet av tidsperioden) spelar roller i exponentiella funktioner. Följande fokuserar på att använda exponentiella tillväxtfunktioner för att göra förutsägelser.

Exponentiell tillväxt är den förändring som inträffar när en originalbelopp ökas med en jämn takt över en tidsperiod

Användningar av exponentiell tillväxt i verkliga livet:

• Värden på bostadspriserna
• Värden på investeringar
• Ökat medlemskap på en populär social nätverkssajt

Edloe och Co. förlitar sig på word of mouth-reklam, det ursprungliga sociala nätverket. Femtio shoppare berättade vardera till fem personer, och sedan berättade var och en av de nya shopparna till fem personer, och så vidare. Chefen registrerade tillväxten av butikshoppare.

• Vecka 0: 50 handlare
• Vecka 1: 250 handlare
• Vecka 2: 1 250 shoppare
• Vecka 3: 6 250 shoppare
• Vecka 4: 31 250 shoppare

Först, hur vet du att denna information representerar exponentiell tillväxt? Ställ dig själv två frågor.

1. Ökar värdena? Ja
2. Visar värdena en jämn procentuell ökning? Ja.

Procentuell ökning: (Nyare - Äldre) / (Äldre) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Kontrollera att procentandelen ökar kvar under hela månaden:

Procentuell ökning: (Nyare - Äldre) / (Äldre) = (1 250 - 250) / 250 = 4,00 = 400%
Procentuell ökning: (Nyare - Äldre) / (Äldre) = (6 250 - 1 250) / 1 250 = 4,00 = 400%

Var försiktig - förväxla inte exponentiell och linjär tillväxt.

Följande representerar linjär tillväxt:

• Vecka 1: 50 handlare
• Vecka 2: 50 handlare
• Vecka 3: 50 handlare
• Vecka 4: 50 handlare

Notera: Linjär tillväxt betyder ett konstant antal kunder (50 kunder per vecka); exponentiell tillväxt innebär en jämn procentuell ökning (400%) av kunderna.

Här är en exponentiell tillväxtfunktion:

y = a (1 + b)^x

• y: Det slutliga beloppet som återstår under en tid
• en: Det ursprungliga beloppet
• x: Tid
• De tillväxtfaktor är (1 + b).
• Variabeln, b, är procentuell förändring i decimalform.

Fyll i ämnen:

• en = 50 shoppare
• b = 4.00

y = 50(1 + 4)^x

Notera: Fyll inte i värden för x och y. Värdena för x och y kommer att ändras under hela funktionen, men den ursprungliga mängden och procentändringen kommer att förbli konstant.

Antag att lågkonjunkturen, den främsta drivkraften för köpare till butiken, kvarstår i 24 veckor. Hur många shoppare varje vecka kommer butiken att ha under 8^th vecka?

Var försiktig, dubbla inte antalet handlare i vecka 4 (31 250 * 2 = 62 500) och tror att det är rätt svar. Kom ihåg att den här artikeln handlar om exponentiell tillväxt, inte linjär tillväxt.

Använd Order of Operations för att förenkla.

y = 50(1 + 4)^x

y = 50(1 + 4)⁸

y = 50(5)⁸ (Parentes)

y = 50 (390,625) (exponent)

y = 19,531,250 (multiplicera)

19 531 250 shoppare

Innan lågkonjunkturen började svävade butikens månatliga intäkter på cirka 800 000 dollar. En butiks inkomst är det totala dollarbeloppet som kunderna spenderar i butiken på varor och tjänster.

Edloe och Co. Intäkter

• Innan lågkonjunkturen: 800 000 dollar
• 1 månad efter lågkonjunktur: 880 000 dollar
• 2 månader efter lågkonjunktur: $ 968 000
• 3 månader efter lågkonjunktur: 1 171 280 dollar
• 4 månader efter lågkonjunktur: 1 288 408 dollar

Använd informationen om Edloes och Co: s intäkter för att slutföra 1 till 7.

1. Vilka är de ursprungliga intäkterna?
2. Vad är tillväxtfaktorn?
3. Hur exponerar denna datamodell exponentiell tillväxt?
4. Skriv en exponentiell funktion som beskriver dessa data.
5. Skriv en funktion för att förutsäga intäkter under den femte månaden efter lågkonjunkturen.
6. Vad är intäkterna under den femte månaden efter starten av lågkonjunktur?
7. Antag att domänen för denna exponentiella funktion är 16 månader. Med andra ord antar att lågkonjunkturen kommer att pågå i 16 månader. Vid vilken tidpunkt kommer intäkterna att överstiga 3 miljoner dollar?