Hur man använder 'If and Only If' i matematik

När du läser om statistik och matematik är en fras som regelbundet dyker upp "om och bara om." Denna fras visas särskilt i uttalanden om matematiska teorem eller bevis. Men vad betyder exakt detta uttalande?

För att förstå "om och bara om", måste vi först veta vad som menas med ett villkorligt uttalande. Ett villkorligt uttalande är ett som bildas av två andra uttalanden, som vi kommer att beteckna med P och Q. För att bilda ett villkorligt uttalande, kan vi säga "om P då Q."

Följande är exempel på denna typ av uttalanden:

• Om det regnar ute, tar jag mitt paraply med mig på min promenad.
• Om du studerar hårt, kommer du att tjäna en A.
• Om n kan delas med 4 då n kan delas med 2.

Tre andra uttalanden är relaterade till eventuella villkorade uttalanden. Dessa kallas konversera, invers och kontrapositiva. Vi bildar dessa uttalanden genom att ändra ordningen på P och Q från det ursprungliga villkoret och infoga ordet "inte" för det omvända och kontrapositiva.

Vi behöver bara ta hänsyn till konversationen här. Detta uttalande erhålls från originalet genom att säga "om Q då är P." Anta att vi börjar med villkoret "om det regnar ute, då jag ta mitt paraply med mig på min promenad. ” Samtalet av detta uttalande är ”om jag tar mitt paraply med mig på min promenad, regnar det utanför."

Vi behöver bara överväga detta exempel för att inse att det ursprungliga villkoret inte logiskt är detsamma som dess omvända. Förvirringen mellan dessa två uttalningsformer kallas en konversationsfel. Man kan ta ett paraply på en promenad även om det kanske inte regnar ute.

För ett annat exempel överväger vi villkoret "Om ett tal är delbart med 4 så är det delbart med 2." Detta uttalande är helt klart sant. Detta uttalande är dock om "Om ett tal är delbart med 2, är det delbart med 4" är falskt. Vi behöver bara titta på ett nummer som 6. Även om 2 delar upp detta nummer, gör inte 4 det. Även om det ursprungliga uttalandet är sant, är det inte det.

Detta för oss till ett tvåvillkorligt uttalande, som också kallas ett "om och bara om" uttalande. Vissa villkorade uttalanden har också konversationer som är sanna. I det här fallet kan vi bilda det som kallas ett tvåvilligt uttalande. Ett tvåvilligt uttalande har formen:

”Om P sedan Q, och om Q då P.”

Sedan detta konstruktion är något besvärligt, särskilt när P och Q är deras egna logiska uttalanden, förenklar vi uttalandet om en tvåvillkor genom att använda frasen "om och endast om." I stället för att säga "om P då Q, och om Q då P" säger vi istället "P om och bara om Q." Denna konstruktion eliminerar vissa redundans.

För ett exempel på frasen ”om och bara om” som involverar statistik, letar du inte längre än ett faktum om standardavvikelsen. Provstandardavvikelsen för en datamängd är lika med noll om och bara om alla datavärden är identiska.

Vi bryter detta tvåvillkorliga uttalande i en villkorad och dess konversation. Då ser vi att detta uttalande innebär båda följande:

• Om standardavvikelsen är noll, är alla datavärden identiska.
• Om alla datavärden är identiska är standardavvikelsen lika med noll.

Om vi ​​försöker bevisa en tvåvillighet, slutar vi oftast att dela upp den. Detta gör att vårt bevis har två delar. En del som vi bevisar är "om P då Q." Den andra delen av beviset vi behöver är "om Q då är P."

Biconditional uttalanden är relaterade till villkor som är både nödvändiga och tillräckliga. Tänk på uttalandet ”om det är idag påsk, i morgon är det måndag. ” Att vara påsk i dag är tillräckligt för att morgondagen blir måndag, men det är inte nödvändigt. Idag kan vara någon annan söndag än påsk, och imorgon skulle fortfarande vara måndag.

Uttrycket ”om och bara om” används vanligt nog i matematisk skrift att det har sin egen förkortning. Ibland förkortas det tvåvilliga i uttalandet av frasen "om och bara om" till "iff." Således uttalandet "P om och bara om Q" blir "P iff Q."