En användning av en chi-square distribution är med hypoteser för multinomiala experiment. För att se hur det här hypotestest fungerar, kommer vi att undersöka följande två exempel. Båda exemplen fungerar genom samma uppsättning steg:
- Forma noll- och alternativa hypoteser
- Beräkna teststatistiken
- Hitta det kritiska värdet
- Ta ett beslut om att avvisa eller inte avvisa vår nollhypotes.
Exempel 1: Ett rättvist mynt
För vårt första exempel vill vi titta på ett mynt. Ett rättvist mynt har en lika sannolikhet på 1/2 av att komma upp huvud eller svansar. Vi kastar ett mynt 1000 gånger och registrerar resultaten av totalt 580 huvuden och 420 svansar. Vi vill testa hypotesen med ett 95% -förtroende för att myntet vi vänt är rättvist. Mer formellt är nollhypotesenH0 är att myntet är rättvist. Eftersom vi jämför jämförda frekvenser av resultat från ett myntkast till de förväntade frekvenserna från ett idealiserat mässmynt, bör ett chi-kvadrat-test användas.
Beräkna Chi-Square-statistiken
Vi börjar med att beräkna chi-square-statistiken för detta scenario. Det finns två händelser, huvud och svansar. Huvuden har en observerad frekvens av
f1 = 580 med förväntad frekvens av e1 = 50% x 1000 = 500. Svansarna har en observerad frekvens av f2 = 420 med en förväntad frekvens av e1 = 500.Vi använder nu formeln för chi-square-statistiken och ser att χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Hitta det kritiska värdet
Därefter måste vi hitta det kritiska värdet för rätt chi-square distribution. Eftersom det finns två utfall för myntet finns det två kategorier att tänka på. Antalet grader av frihet är en mindre än antalet kategorier: 2 - 1 = 1. Vi använder chi-square distributionen för detta antal frihetsgrader och ser det χ20.95=3.841.
Avvisa eller misslyckas med att avvisa?
Slutligen jämför vi den beräknade chi-square-statistiken med det kritiska värdet från tabellen. Sedan 25.6> 3.841 avvisar vi nollhypotesen att detta är ett rättvist mynt.
Exempel 2: A Fair Die
En rättvis matris har en lika stor sannolikhet på 1/6 av att rulla en, två, tre, fyra, fem eller sex. Vi rullar en dyna 600 gånger och noterar att vi rullar en 106 gånger, två 90 gånger, en tre 98 gånger, en fyra 102 gånger, en fem 100 gånger och en sex 104 gånger. Vi vill testa hypotesen med 95% förtroende för att vi har en rättvis dör.
Beräkna Chi-Square-statistiken
Det finns sex händelser, vardera med en förväntad frekvens på 1/6 x 600 = 100. De observerade frekvenserna är f1 = 106, f2 = 90, f3 = 98, f4 = 102, f5 = 100, f6 = 104,
Vi använder nu formeln för chi-square-statistiken och ser att χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2+ (f3 - e3 )2/e3+(f4 - e4 )2/e4+(f5 - e5 )2/e5+(f6 - e6 )2/e6 = 1.6.
Hitta det kritiska värdet
Därefter måste vi hitta det kritiska värdet för rätt chi-square distribution. Eftersom det finns sex kategorier av resultat för dö är antalet frihetsgrader en mindre än detta: 6 - 1 = 5. Vi använder chi-square distributionen för fem frihetsgrader och ser det χ20.95=11.071.
Avvisa eller misslyckas med att avvisa?
Slutligen jämför vi den beräknade chi-square-statistiken med det kritiska värdet från tabellen. Eftersom den beräknade chi-square-statistiken är 1,6 är mindre än vårt kritiska värde på 11,071, vi misslyckas med att avvisa nollhypotesen.