Vad är kurtos i statistik?

Fördelningar av data och sannolikhetsfördelningar har inte alla samma form. Vissa är asymmetriska och skev till vänster eller till höger. Andra distributioner är bimodala och har två toppar. En annan funktion att tänka på när man talar om en distribution är formen på svansarna på distributionen längst till vänster och längst till höger. Kurtos är måttet på tjockleken eller tyngden hos svansarna i en distribution. Kurtos för en distribution är i en av tre kategorier av klassificering:

• Mesokurtic
• Leptokurtic
• Platykurtic

Vi kommer att överväga var och en av dessa klassificeringar i sin tur. Vår undersökning av dessa kategorier kommer inte att vara så exakt som vi kunde vara om vi använde den tekniska matematiska definitionen av kurtos.

Kurtos mäts vanligtvis med avseende på normal distribution. En distribution som har svansar formade på ungefär samma sätt som all normal distribution, inte bara standard normalfördelning, sägs vara mesokurtisk. Kurtos för en mesokurtisk distribution är varken hög eller låg, snarare anses den vara en baslinje för de två andra klassificeringarna.

Förutom normala fördelningar, binomiala fördelningar för vilka p är nära 1/2 anses vara mesokurtisk.

En leptokurtisk distribution är en som har kurtos större än en mesokurtisk distribution. Leptokurtiska fördelningar identifieras ibland med toppar som är tunna och höga. Svansarna på dessa fördelningar, både till höger och vänster, är tjocka och tunga. Leptokurtiska fördelningar benämns med prefixet "lepto" som betyder "mager".

Det finns många exempel på leptokurtiska fördelningar. En av de mest kända leptokurtiska fördelningarna är Studentens distribution.

Den tredje klassificeringen för kurtos är platykurtisk. Platykurtiska fördelningar är de som har smala svansar. Många gånger har de en topp som är lägre än en mesokurtisk distribution. Namnet på dessa typer av distributioner kommer från betydelsen av prefixet "platy" som betyder "bred".

Allt enhetlig distributionerna är platykurtiska. Utöver detta kommer diskret sannolikhetsfördelningen från en enda flip av ett mynt är platykurtisk.

Dessa klassificeringar av kurtos är fortfarande något subjektiva och kvalitativa. Medan vi kanske kan se att en distribution har tjockare svansar än en normalfördelning, men om vi inte har grafen för en normalfördelning att jämföra med? Tänk om vi vill säga att en distribution är mer leptokurtisk än en annan?

För att besvara sådana frågor behöver vi inte bara en kvalitativ beskrivning av kurtos, utan ett kvantitativt mått. Den använda formeln är μ₄/σ⁴ där μ₄ är Pearsons fjärde ögonblick om medelvärdet och sigma är standardavvikelsen.

Nu när vi har ett sätt att beräkna kurtos kan vi jämföra de erhållna värdena snarare än former. Den normala fördelningen har visat sig ha en kurtos på tre. Detta blir nu vår bas för mesokurtiska distributioner. En distribution med kurtos större än tre är leptokurtisk och en distribution med kurtos mindre än tre är platykurtisk.

Eftersom vi behandlar en mesokurtisk distribution som en baslinje för våra andra distributioner, kan vi subtrahera tre från vår standardberäkning för kurtos. Formeln μ₄/σ⁴ - 3 är formeln för överskott av kurtos. Vi kunde sedan klassificera en fördelning från dess överflödiga kurtos:

• Mesokurtiska fördelningar har överskott av kurtos på noll.
• Platykurtiska fördelningar har negativt överskott av kurtos.
• Leptokurtiska fördelningar har positiv överskottskurtos.

Ordet "kurtos" verkar konstigt vid första eller andra behandlingen. Det är verkligen meningsfullt, men vi måste veta grekiska för att erkänna detta. Kurtos härrör från en transliteration av det grekiska ordet kurtos. Detta grekiska ord har betydelsen "välvda" eller "utbuktande", vilket gör det till en lämplig beskrivning av begreppet kurtosis.