Hur man beräknar backgammon-sannolikheter

Backgammon är ett spel som använder två standardtärningar. Tärningarna som används i detta spel är sexsidiga kuber, och ansikten på en dyna har en, två, tre, fyra, fem eller sex pips. Under en backgammon-turnering kan en spelare flytta sina checkar eller utkast enligt siffrorna som visas på tärningen. De rullade siffrorna kan delas mellan två rutor, eller de kan sammanställas och användas för en enda kontrollör. Till exempel, när en 4 och en 5 rullas, har en spelare två alternativ: han kan flytta en checker fyra mellanslag och ytterligare en fem mellanslag, eller en checker kan flyttas totalt nio mellanslag.

För att formulera strategier för backgammon är det bra att känna till några grundläggande sannolikheter. Eftersom en spelare kan använda en eller två tärningar för att flytta en viss checker, kommer alla beräkningar av sannolikheter att hålla detta i åtanke. För våra backgammon-sannolikheter kommer vi att besvara frågan, "När vi rullar två tärningar, vad är sannolikheten för att rulla antalet n som antingen en summa av två tärningar, eller på minst en av de två tärningarna? ”

För en enda matris som inte är lastad, är varje sida lika sannolikt att landa uppåt. En enda form bildar en enhetligprovutrymmet. Det finns totalt sex resultat, motsvarande var och en av heltalen från 1 till 6. Således har varje nummer en sannolikhet på 1/6 av inträffar.

När vi rullar två tärningar är var och en oberoende av den andra. Om vi ​​håller koll på ordningen på vilket antal som förekommer på var och en av tärningarna, finns det totalt 6 x 6 = 36 lika sannolika resultat. Således är 36 nämnaren för alla våra sannolikheter och varje särskilt resultat av två tärningar har en sannolikhet på 1/36.

Sannolikheten för att rulla två tärningar och få minst ett av ett nummer från 1 till 6 är enkel att beräkna. Om vi ​​vill bestämma sannolikheten för att rulla minst en 2 med två tärningar, måste vi veta hur många av de 36 möjliga resultaten inkluderar minst en 2. Sätten att göra detta är:

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

Det finns således 11 sätt att rulla minst en 2 med två tärningar, och sannolikheten för att rulla minst en 2 med två tärningar är 11/36.

Det finns inget speciellt med 2 i föregående diskussion. För varje givet nummer n från 1 till 6:

• Det finns fem sätt att rulla exakt ett av det numret på den första matrisen.
• Det finns fem sätt att rulla exakt ett av det numret på den andra dynen.
• Det finns ett sätt att rulla det numret på båda tärningarna.

Därför finns det 11 sätt att rulla minst ett n från 1 till 6 med två tärningar. Sannolikheten för att detta inträffar är 11/36.

Vilket som helst nummer från två till 12 kan erhållas som summan av två tärningar. De sannolikheter för två tärningar är lite svårare att beräkna. Eftersom det finns olika sätt att nå dessa summor bildar de inte ett enhetligt provutrymme. Till exempel finns det tre sätt att rulla en summa på fyra: (1, 3), (2, 2), (3, 1), men bara två sätt att rulla en summa av 11: (5, 6), ( 6, 5).

Sannolikheten för att rulla en summa av ett visst nummer är följande:

• Sannolikheten för att rulla en summa av två är 1/36.
• Sannolikheten för att rulla en summa av tre är 2/36.
• Sannolikheten för att rulla en summa på fyra är 3/36.
• Sannolikheten för att rulla en summa av fem är 4/36.
• Sannolikheten för att rulla en summa på sex är 5/36.
• Sannolikheten för att rulla en summa av sju är 6/36.
• Sannolikheten för att rulla en summa av åtta är 5/36.
• Sannolikheten för att rulla en summa av nio är 4/36.
• Sannolikheten för att rulla en summa på tio är 3/36.
• Sannolikheten för att rulla en summa av elva är 2/36.
• Sannolikheten för att rulla en summa på tolv är 1/36.

Äntligen har vi allt vi behöver för att beräkna sannolikheter för backgammon. Att rulla minst ett av ett nummer är ömsesidigt exklusivt från att rulla detta nummer som en summa av två tärningar. Således kan vi använda tilläggsregel att lägga till sannolikheterna för att få valfritt antal från 2 till 6.

Till exempel är sannolikheten för att rulla minst en 6 av två tärningar 11/36. Att rulla en 6 som summan av två tärningar är 5/36. Sannolikheten för att rulla minst en 6 eller rulla en sex som summan av två tärningar är 11/36 + 5/36 = 16/36. Andra sannolikheter kan beräknas på liknande sätt.