Hur man beräknar Powerball-odds

Powerball är en multistat lotteri det är ganska populärt på grund av dess jackpottar på flera miljoner dollar. Några av dessa jackpots når värden som ligger över 100 miljoner dollar. En intressant uppdrag från a probabilistisk förnuft är: ”Hur är det odds beräknat på sannolikheten för vinnande Kraftboll?"

Först kommer vi att undersöka reglerna för Powerball eftersom det för närvarande är konfigurerat. Under varje ritning blandas två trummor fulla med bollar noggrant. Den första trumman innehåller vita bollar numrerade 1 till 59. Fem ritas utan utbyte från den här trumman. Den andra trumman har röda bollar som är numrerade från 1 till 35. En av dessa ritas. Syftet är att matcha så många av dessa nummer som möjligt.

Den fulla jackpotten vinns när alla sex nummer som väljs av en spelare matchar perfekt med de bollar som dras. Det finns priser med mindre värden för partiell matchning, för totalt nio olika sätt att vinna något dollarbelopp från Powerball. Dessa sätt att vinna är:

• Att matcha alla fem vita bollar och den röda bollen vinner jackpotten. Värdet på detta varierar beroende på hur länge det har gått sedan någon har vunnit detta stora pris.
• Att matcha alla fem vita bollarna men inte den röda bollen vinner $ 1 000 000.
• Att matcha exakt fyra av de fem vita bollarna och den röda bollen vinner $ 10.000.
• Att matcha exakt fyra av de fem vita bollarna men inte den röda bollen vinner 100 $.
• Att matcha exakt tre av de fem vita kulorna och den röda bollen vinner 100 $.
• Att matcha exakt tre av de fem vita bollarna men inte den röda bollen vinner $ 7.
• Att matcha exakt två av de fem vita bollarna och den röda bollen vinner $ 7.
• Att matcha exakt en av de fem vita bollarna och den röda bollen vinner $ 4.
• Matchar bara den röda bollen men ingen av de vita bollarna vinner $ 4.

Vi ska titta på hur man beräknar var och en av dessa sannolikheter. Under dessa beräkningar är det viktigt att notera att ordningen på hur bollarna kommer ut ur trumman inte är viktig. Det enda som är viktigt är uppsättningen bollar som dras. Av denna anledning innebär våra beräkningar kombinationer och inte permutationer.

Också användbart i varje beräkning nedan är det totala antalet kombinationer som kan dras. Vi har fem utvalda från de 59 vita bollarna, eller använder notationen för kombinationer, C (59, 5) = 5,006,386 sätt att detta ska ske. Det finns 35 sätt att välja den röda bollen, vilket resulterar i 35 x 5,006,386 = 175,223,510 möjliga val.

Även om jackpotten för att matcha alla sex bollar är den svåraste att få, är det den enklaste sannolikheten att beräkna. Av de många möjliga urvalen 175 223 510 finns det exakt ett sätt att vinna jackpotten. Sannolikheten för att en viss biljett vinner jackpoten är således 1/175 223 510.

För att vinna $ 1 000 000 måste vi matcha de fem vita bollarna, men inte de röda. Det finns bara ett sätt att matcha alla fem. Det finns 34 sätt att inte matcha den röda bollen. Så sannolikheten för att vinna $ 1 000 000 är 34/175 223 510, eller ungefär 1 5153 633.

För ett pris på $ 10.000 måste vi matcha fyra av de fem vita bollarna och den röda. Det finns C (5,4) = 5 sätt att matcha fyra av de fem. Den femte bollen måste vara en av de återstående 54 som inte togs, och det finns så C (54, 1) = 54 sätt att detta ska hända. Det finns bara ett sätt att matcha den röda bollen. Detta innebär att det finns 5 x 54 x 1 = 270 sätt att matcha exakt fyra vita bollar och den röda, vilket ger en sannolikhet på 270/175 223 510, eller ungefär 1 / 648,976.

Ett sätt att vinna ett pris på $ 100 är att matcha fyra av de fem vita bollarna och inte matcha den röda. Som i föregående fall finns det C (5,4) = 5 sätt att matcha fyra av de fem. Den femte bollen måste vara en av de återstående 54 som inte togs, och det finns så C (54, 1) = 54 sätt att detta ska hända. Den här gången finns det 34 sätt att inte matcha den röda bollen. Detta innebär att det finns 5 x 54 x 34 = 9180 sätt att matcha exakt fyra vita bollar men inte den röda, vilket ger en sannolikhet på 9180/175 223 510, eller ungefär 1 / 19,088.

Ett annat sätt att vinna ett pris på $ 100 är att matcha exakt tre av de fem vita bollarna och också matcha den röda. Det finns C (5,3) = 10 sätt att matcha tre av de fem. De återstående vita bollarna måste vara en av de återstående 54 som inte ritades, så det finns C (54, 2) = 1431 sätt att detta ska ske. Det finns ett sätt att matcha den röda bollen. Detta innebär att det finns 10 x 1431 x 1 = 14,310 sätt att matcha exakt tre vita bollar och den röda, vilket ger en sannolikhet på 14,310 / 175,223,510, eller ungefär 1 / 12,245.

Ett sätt att vinna ett pris på $ 7 är att matcha exakt tre av de fem vita bollarna och inte matcha den röda. Det finns C (5,3) = 10 sätt att matcha tre av de fem. De återstående vita bollarna måste vara en av de återstående 54 som inte ritades, så det finns C (54, 2) = 1431 sätt att detta ska ske. Den här gången finns det 34 sätt att inte matcha den röda bollen. Detta innebär att det finns 10 x 1431 x 34 = 486,540 sätt att matcha exakt tre vita bollar men inte den röda, vilket ger en sannolikhet på 486,540 / 175 223 510, eller ungefär 1/360.

Ett annat sätt att vinna ett pris på $ 7 är att matcha exakt två av de fem vita bollarna och också matcha den röda. Det finns C (5,2) = 10 sätt att matcha två av de fem. De återstående vita bollarna måste vara en av de återstående 54 som inte ritades, och det finns så C (54, 3) = 24 804 sätt att detta ska hända. Det finns ett sätt att matcha den röda bollen. Detta innebär att det finns 10 x 24 804 x 1 = 248,040 sätt att matcha exakt två vita bollar och den röda, vilket ger en sannolikhet på 248 040/175 223 510, eller ungefär 1/706.

Ett sätt att vinna ett pris på $ 4 är att matcha exakt en av de fem vita bollarna och också matcha den röda. Det finns C (5,4) = 5 sätt att matcha en av de fem. De återstående vita bollarna måste vara en av de återstående 54 som inte ritades, och det finns därför C (54, 4) = 316,251 sätt att detta ska hända. Det finns ett sätt att matcha den röda bollen. Detta innebär att det finns 5 x 316,251 x1 = 1,581,255 sätt att matcha exakt en vit boll och den röda, vilket ger en sannolikhet på 1,581,255 / 175,223,510, eller ungefär 1/111.

Ett annat sätt att vinna ett pris på $ 4 är att matcha ingen av de fem vita bollarna men matcha den röda. Det finns 54 bollar som inte är någon av de fem valda, och vi har C (54, 5) = 3,162,510 sätt att detta ska hända. Det finns ett sätt att matcha den röda bollen. Detta innebär att det finns 3 162 510 sätt att matcha ingen av bollarna utom för den röda, vilket ger en sannolikhet av 3 162 510/175 223 510, eller ungefär 1/55.

Det här fallet är något motsatt. Det finns 36 röda bollar, så vi kanske tror att sannolikheten för att matcha en av dem skulle vara 1/36. Detta försummar emellertid de andra villkoren som de vita bollarna sätter. Många kombinationer som involverar rätt röd boll innehåller också matchningar på några av de vita bollarna också.