Exponentiella funktioner berättar historier om explosiv förändring. De två typerna av exponentiella funktioner är exponentiell tillväxt och exponentiellt förfall. Fyra variabler - procent förändring, tid, beloppet i början av tidsperioden och beloppet i slutet av tidsperioden - spelar roller i exponentiella funktioner. Den här artikeln fokuserar på hur man hittar beloppet i början av tidsperioden, en.
Exponentiell tillväxt
Exponentiell tillväxt: förändringen som inträffar när ett ursprungligt belopp ökas med en jämn takt över en tidsperiod
Exponentiell tillväxt i verkliga livet:
- Värden på bostadspriserna
- Värden på investeringar
- Ökat medlemskap på en populär social nätverkssajt
Här är en exponentiell tillväxtfunktion:
y = a (1 + b)x
- y: Slutligt belopp som återstår under en tidsperiod
- en: Det ursprungliga beloppet
- x: Tid
- De tillväxtfaktor är (1 + b).
- Variabeln, b, är procentuell förändring i decimalform.
Exponential Decay
Exponentiell sönderfall: förändringen som inträffar när ett originalbelopp minskas med en jämn takt över en tidsperiod
Exponential Decay in Real Life:
- Nedgång av tidningsläsarskapet
- Nedgång i slag i USA
- Antal personer som är kvar i en orkanen slagen stad
Här är en exponentiell sönderfallsfunktion:
y = a (1-b)x
- y: Det slutliga beloppet som återstår efter förfallet under en tidsperiod
- en: Det ursprungliga beloppet
- x: Tid
- De förfallfaktor är (1-b).
- Variabeln, b, är procentvis minskning i decimalform.
Syfte att hitta det ursprungliga beloppet
Sex år från och med nu, kanske du vill bedriva en grundutbildning vid Dream University. Med en prislapp på 120 000 dollar framkallar Dream University ekonomiska nattförskräckningar. Efter sömnlösa nätter träffar du, mamma och pappa en ekonomisk planerare. Dina förälders blodblodiga ögon lyser upp när planeraren avslöjar en investering med en tillväxttakt på 8% som kan hjälpa din familj att nå målet på 120 000 dollar. Studera hårt. Om du och dina föräldrar investerar 75 620,36 dollar idag, kommer Dream University att bli din verklighet.
Hur man löser för det ursprungliga beloppet för en exponentiell funktion
Denna funktion beskriver investeringens exponentiella tillväxt:
120,000 = en(1 +.08)6
- 120 000: Slutligt belopp kvar efter 6 år
- .08: Årlig tillväxttakt
- 6: Antalet år för investeringen att växa
- en: Det initiala beloppet som din familj investerade
Ledtråd: Tack vare jämlikhetens symmetriska egenskap, 120 000 = en(1 +.08)6 är det samma som en(1 +.08)6 = 120,000. (Symmetrisk egenskap av jämlikhet: Om 10 + 5 = 15, då 15 = 10 +5.)
Om du föredrar att skriva om ekvationen med konstanten, 120 000, till höger om ekvationen, gör det.
en(1 +.08)6 = 120,000
Ekvationen ser inte ut som en linjär ekvation (6en = $ 120 000), men det är lösbart. Hålla fast vid det!
en(1 +.08)6 = 120,000
Var försiktig: Lös inte denna exponentiella ekvation genom att dela 120 000 med 6. Det är ett frestande matte-nej.
1. Använda sig av Operationsordning att förenkla.
en(1 +.08)6 = 120,000
en(1.08)6 = 120 000 (parentes)
en(1,586874323) = 120 000 (exponent)
2. Lös genom att dela
en(1.586874323) = 120,000
en(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1en = 75,620.35523
en = 75,620.35523
Det ursprungliga beloppet, eller det belopp som din familj ska investera, är cirka 75 620,36 dollar.
3. Frys - du är inte klar än. Använd ordningsfunktioner för att kontrollera ditt svar.
120,000 = en(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Parentes)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (Exponent)
120 000 = 120 000 (multiplikation)
Övningsövningar: svar och förklaringar
Här är exempel på hur man löser för det ursprungliga beloppet med tanke på den exponentiella funktionen:
-
84 = en(1+.31)7
Använd Order of Operations för att förenkla.
84 = en(1.31)7 (Parentes)
84 = en(6.620626219) (Exponent)
Dela upp för att lösa.
84/6.620626219 = en(6.620626219)/6.620626219
12.68762157 = 1en
12.68762157 = en
Använd Order of Operations för att kontrollera ditt svar.
84 = 12.68762157(1.31)7 (Parentes)
84 = 12.68762157 (6.620626219) (exponent)
84 = 84 (Multiplikation) -
en(1 -.65)3 = 56
Använd Order of Operations för att förenkla.
en(.35)3 = 56 (parentes)
en(.042875) = 56 (Exponent)
Dela upp för att lösa.
en(.042875)/.042875 = 56/.042875
en = 1,306.122449
Använd Order of Operations för att kontrollera ditt svar.
en(1 -.65)3 = 56
1,306.122449(.35)3 = 56 (parentes)
1,306,122449 (0,042875) = 56 (exponent)
56 = 56 (multiplicera) -
en(1 + .10)5 = 100,000
Använd Order of Operations för att förenkla.
en(1.10)5 = 100 000 (parentes)
en(1.61051) = 100.000 (exponent)
Dela upp för att lösa.
en(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
en = 62,092.13231
Använd Order of Operations för att kontrollera ditt svar.
62,092.13231(1 + .10)5 = 100,000
62,092.13231(1.10)5 = 100 000 (parentes)
62.092.13231 (1.61051) = 100.000 (exponent)
100 000 = 100 000 (multiplicera) -
8,200 = en(1.20)15
Använd Order of Operations för att förenkla.
8,200 = en(1.20)15 (Exponent)
8,200 = en(15.40702157)
Dela upp för att lösa.
8,200/15.40702157 = en(15.40702157)/15.40702157
532.2248665 = 1en
532.2248665 = en
Använd Order of Operations för att kontrollera ditt svar.
8,200 = 532.2248665(1.20)15
8 200 = 532,2248665 (15.40702157) (exponent)
8 200 = 8200 (Tja, 819.9999... Bara lite avrundningsfel.) (Multiplicera.) -
en(1 -.33)2 = 1,000
Använd Order of Operations för att förenkla.
en(.67)2 = 1 000 (parentes)
en(.4489) = 1 000 (exponent)
Dela upp för att lösa.
en(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
1en = 2,227.667632
en = 2,227.667632
Använd Order of Operations för att kontrollera ditt svar.
2,227.667632(1 -.33)2 = 1,000
2,227.667632(.67)2 = 1 000 (parentes)
2,227,667632 (.4489) = 1 000 (exponent)
1 000 = 1 000 (multiplicera) -
en(.25)4 = 750
Använd Order of Operations för att förenkla.
en(.00390625) = 750 (Exponent)
Dela upp för att lösa.
en(.00390625)/00390625= 750/.00390625
La = 192 000
a = 192 000
Använd Order of Operations för att kontrollera ditt svar.
192,000(.25)4 = 750
192,000(.00390625) = 750
750 = 750