Förväntat värde för Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck är ett slumpspel. Tre tärningar rullas, ibland i en trådram. På grund av denna ram kallas detta spel också fågelbur. Detta spel ses ofta i karnevaler snarare än kasinon. På grund av användningen av slumpmässiga tärningar kan vi dock använda sannolikheten för att analysera detta spel. Mer specifikt kan vi beräkna det förväntade värdet på detta spel.

Det finns flera typer av satsningar som är möjliga att satsa på. Vi kommer bara att överväga satsningen med ett enda nummer. På denna satsning väljer vi helt enkelt ett specifikt nummer från en till sex. Sedan rullar vi tärningarna. Tänk på möjligheterna. Alla tärningarna, två av dem, en av dem eller ingen kunde visa antalet som vi har valt.

Anta att detta spel kommer att betala följande:

• $ 3 om alla tre tärningarna matchar det valda antalet.
• $ 2 om exakt två tärningar matchar det valda antalet.
• $ 1 om exakt en av tärningarna matchar det valda antalet.

Om ingen av tärningarna matchar det valda antalet måste vi betala $ 1.

Vad är det förväntade värdet för detta spel? Med andra ord, på lång sikt hur mycket i genomsnitt skulle vi förvänta oss att vinna eller förlora om vi spelade detta spel upprepade gånger?

För att hitta det förväntade värdet på detta spel måste vi fastställa fyra sannolikheter. Dessa sannolikheter motsvarar de fyra möjliga utfallen. Vi noterar att varje dör är oberoende av de andra. På grund av denna oberoende använder vi multiplikationsregeln. Detta kommer att hjälpa oss att bestämma antalet resultat.

Vi antar också att tärningarna är rättvisa. Var och en av de sex sidorna på var och en av de tre tärningarna är lika sannolikt att rullas.

Det finns 6 x 6 x 6 = 216 möjliga resultat från att rulla dessa tre tärningar. Detta nummer kommer att vara nämnare för alla våra sannolikheter.

Det finns ett sätt att matcha alla tre tärningarna med det valda antalet.

Det finns fem sätt att enstans inte motsvarar vårt valda nummer. Det betyder att det finns 5 x 5 x 5 = 125 sätt för ingen av våra tärningar att matcha det antal som valts.

Om vi ​​tänker exakt på två av tärningarna som matchar, så har vi en dör som inte matchar.

• Det finns 1 x 1 x 5 = 5 sätt för de två första tärningarna att matcha vårt antal och den tredje att vara annorlunda.
• Det finns 1 x 5 x 1 = 5 sätt för den första och tredje tärningen att matcha, med den andra vara olika.
• Det finns 5 x 1 x 1 = 5 sätt för den första matrisen att vara annorlunda och för den andra och tredje att matcha.

Detta innebär att det finns totalt 15 sätt att exakt två tärningar matchar.

Vi har nu beräknat antalet sätt att få alla utom ett av våra resultat. Det finns 216 rullar möjliga. Vi har stått för 1 + 15 + 125 = 141 av dem. Detta innebär att det finns 216 -141 = 75 kvar.

Vi samlar in ovanstående information och ser:

• Sannolikheten för att vårt antal matchar alla tre tärningarna är 1/216.
• Sannolikheten för att vårt antal matchar exakt två tärningar är 15/216.
• Sannolikheten för att vårt nummer matchar exakt en matris är 75/216.
• Sannolikheten för att vårt antal matchar ingen av tärningarna är 125/216.

Vi är nu redo att beräkna förväntat värde av denna situation. De formel för förväntat värde kräver att vi multiplicerar sannolikheten för varje händelse med nettovinsten eller förlusten om händelsen inträffar. Vi lägger sedan till alla dessa produkter tillsammans.

Beräkningen av det förväntade värdet är som följer:

(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216

Detta är ungefär - 0,08 $. Tolkningen är att om vi skulle spela detta spel upprepade gånger skulle vi i genomsnitt tappa 8 cent varje gång vi spelade.