Genom matematik och statistik måste vi veta hur vi räknar. Detta gäller särskilt för vissa sannolikhet problem. Anta att vi får totalt n distinkta objekt och vill välja r av dem. Detta berör direkt ett matematikområde som kallas kombinatorik, vilket är studien av räkning. Två av de viktigaste sätten att räkna dessa r föremål från n element kallas permutationer och kombinationer. Dessa begrepp är nära besläktade med varandra och lätt förvirrade.
Vad är skillnaden mellan en kombination och permutation? Nyckelidén är ordningens. En permutation uppmärksammar ordningen att vi väljer våra objekt. Samma uppsättning objekt, men tagna i en annan ordning ger oss olika permutationer. Med en kombination väljer vi fortfarande r föremål från totalt n, men beställningen beaktas inte längre.
Ett exempel på permutationer
För att skilja mellan dessa idéer kommer vi att ta hänsyn till följande exempel: hur många permutationer finns det av två bokstäver från uppsättningen {a, b, c}?
Här listar vi alla par element från den givna uppsättningen, samtidigt som vi uppmärksammar beställningen. Det finns totalt sex permutationer. Listan över alla dessa är: ab, ba, bc, cb, ac och ca. Observera att som permutationer
ab och ba är olika för i ett fall en valdes först och i den andra en valdes andra.Ett exempel på kombinationer
Nu kommer vi att svara på följande fråga: hur många kombinationer finns det av två bokstäver från uppsättningen {a, b, c}?
Eftersom vi har att göra med kombinationer bryr vi oss inte längre om beställningen. Vi kan lösa detta problem genom att titta tillbaka på permutationerna och sedan eliminera de som innehåller samma bokstäver. Som kombinationer ab och ba betraktas som samma. Således finns det bara tre kombinationer: ab, ac och bc.
formler
För situationer som vi möter med större uppsättningar är det för tidskrävande att lista upp alla möjliga permutationer eller kombinationer och räkna slutresultatet. Lyckligtvis finns det formler som ger oss antalet permutationer eller kombinationer av n föremål tagna r vid en tid.
I dessa formler använder vi den korta notationen av n! kallad nfaktoriell. Faktoriet säger helt enkelt att multiplicera alla positiva heltal mindre än eller lika med n tillsammans. Så till exempel 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Per definition 0! = 1.
Antalet permutationer av n föremål tagna r åt gången ges av formeln:
P(n,r) = n!/(n - r)!
Antalet kombinationer av n föremål tagna r åt gången ges av formeln:
C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]
Formler på jobbet
För att se formlerna på jobbet, låt oss titta på det första exemplet. Antalet permutationer för en uppsättning av tre objekt tagna två åt gången anges av P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Detta matchar exakt vad vi fick genom att lista alla permutationer.
Antalet kombinationer av en uppsättning av tre objekt tagna två åt gången ges av:
C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Återigen stämmer det här exakt med vad vi såg tidigare.
Formlerna sparar definitivt tid när vi blir ombedda att hitta antalet permutationer i en större uppsättning. Till exempel, hur många permutationer finns det av en uppsättning av tio objekt tagna tre åt gången? Det skulle ta en stund att lista alla permutationer, men med formlerna ser vi att det skulle vara:
P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutationer.
Huvudidén
Vad är skillnaden mellan permutationer och kombinationer? Sammanfattningen är att i räkningssituationer som involverar en order bör permutationer användas. Om ordningen inte är viktig, bör kombinationer användas.