Variansen för en fördelning av en slumpmässig variabel är en viktig funktion. Detta tal indikerar spridningen av en distribution, och det hittas genom att kvadratera standardavvikelse. En vanlig diskret distribution är den för Poisson-distributionen. Vi kommer att se hur man beräknar variansen för Poisson-distributionen med parametern λ.
Poisson-distributionen
Poisson-fördelningar används när vi har ett kontinuum av något slag och räknar diskreta förändringar inom detta kontinuum. Detta inträffar när vi överväger antalet personer som anländer till en filmbiljettdisk under en timme, hålla reda på antalet bilar som kör genom en korsning med en fyrvägsstopp eller räknar antalet brister som uppstår i en längd av tråd.
Om vi gör några klargörande antaganden i dessa scenarier, matchar dessa situationer villkoren för en Poisson-process. Vi säger sedan att den slumpmässiga variabeln, som räknar antalet förändringar, har en Poisson-fördelning.
Poisson-distributionen avser faktiskt en oändlig distributionsfamilj. Dessa fördelningar är utrustade med en enda parameter λ. Parametern är en positiv
riktigt nummer det är nära relaterat till det förväntade antalet förändringar som observerats i kontinuummet. Vidare kommer vi att se att denna parameter är lika med inte bara betyda av distributionen men också variationen i distributionen.Sannolikmassfunktionen för en Poisson-distribution ges av:
f(x) = (λxe-λ)/x!
I detta uttryck, brevet e är ett nummer och är den matematiska konstanten med ett värde som är ungefär lika med 2,718281828. Variabeln x kan vara valfritt heltal.
Beräkna variationen
För att beräkna medelvärdet för en Poisson-distribution använder vi denna distribution ögonblicksgenererande funktion. Vi ser det:
M( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λxe-λ)/x!
Vi minns nu Maclaurin-serien för eu. Eftersom alla derivat av funktionen eu är eu, alla dessa derivat utvärderade till noll ger oss 1. Resultatet är serien eu = Σ un/n!.
Med hjälp av Maclaurin-serien för eu, kan vi uttrycka den ögonblick som genererar funktionen inte som en serie, utan i en stängd form. Vi kombinerar alla termer med exponenten för x. Således M(t) = eλ(et - 1).
Vi hittar nu variansen genom att ta det andra derivatet av M och utvärdera detta vid noll. Eftersom M’(t) =λetM(t) använder vi produktregeln för att beräkna det andra derivatet:
M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)
Vi utvärderar detta på noll och finner det M’’(0) = λ2 + λ. Vi använder sedan det faktum att M'(0) = λ för att beräkna variansen.
var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Detta visar att parametern λ inte bara är medelvärdet för Poisson-distributionen utan också är dess varians.