Vad är den tomma uppsättningen i setteorin?

När kan ingenting vara något? Det verkar som en dum fråga och ganska paradoxal. Inom matematiska fältet för uppsättningsteori är det rutin att ingenting är något annat än ingenting. Hur kan det vara såhär?

När vi bildar en uppsättning utan element, har vi inte längre ingenting. Vi har en uppsättning med ingenting i det. Det finns ett specialnamn för uppsättningen som inte innehåller några element. Detta kallas den tomma eller nulluppsättningen.

Definitionen av den tomma uppsättningen är ganska subtil och kräver lite tanke. Det är viktigt att komma ihåg att vi tänker på en uppsättning som en samling element. Uppsättningen i sig skiljer sig från elementen som den innehåller.

Till exempel kommer vi att titta på {5}, som är en uppsättning som innehåller elementet 5. Uppsättningen {5} är inte ett nummer. Det är en uppsättning med numret 5 som ett element, medan 5 är ett nummer.

På liknande sätt är den tomma uppsättningen ingenting. Istället är det setet utan element. Det hjälper till att tänka på uppsättningar som containrar, och elementen är de saker som vi lägger i dem. En tom behållare är fortfarande en behållare och är analog med den tomma uppsättningen.

Den tomma uppsättningen är unik, varför det är helt lämpligt att prata om de tom uppsättning, snarare än en tom uppsättning. Detta gör att den tomma uppsättningen skiljer sig från andra uppsättningar. Det finns oändligt många uppsättningar med ett element i dem. Uppsättningarna {a}, {1}, {b} och {123} har var och en ett element, och därför är de likvärdiga med varandra. Eftersom själva elementen skiljer sig från varandra är uppsättningarna inte lika.

Det finns inget speciellt med exemplen ovan som var och en har ett element. Med ett undantag finns det oändligt många uppsättningar av den storleken för valfritt antal eller oändlighet. Undantaget är för numret noll. Det finns bara en uppsättning, den tomma uppsättningen, utan några element i den.

Det matematiska beviset på detta är inte svårt. Vi antar först att den tomma uppsättningen inte är unik, att det finns två uppsättningar utan element i dem, och använder sedan några egenskaper från uppsättningsteorin för att visa att detta antagande innebär en motsägelse.

Den tomma uppsättningen betecknas med symbolen ∅, som kommer från en liknande symbol i det danska alfabetet. Vissa böcker hänvisar till den tomma uppsättningen med dess alternativa namn på nolluppsättningen.

Eftersom det bara finns en tom uppsättning är det värt att se vad som händer när uppsättningen fungerar korsning, förening och komplement används med den tomma uppsättningen och en allmän uppsättning som vi kommer att beteckna förbi X. Det är också intressant att överväga delmängden av den tomma uppsättningen och när är den tomma uppsättningen en delmängd. Dessa fakta samlas nedan:

• De genomskärning av alla uppsättningar med den tomma uppsättningen är den tomma uppsättningen. Det beror på att det inte finns några element i den tomma uppsättningen, och därför har de två uppsättningarna inga gemensamma element. I symboler skriver vi X ∩ ∅ = ∅.
• De union av alla uppsättningar med den tomma uppsättningen är den uppsättning vi började med. Det beror på att det inte finns några element i den tomma uppsättningen, och därför lägger vi inte till några element till den andra uppsättningen när vi bildar facket. I symboler skriver vi X U ∅ = X.
• De komplement för den tomma uppsättningen är den universella uppsättningen för den inställning som vi arbetar i. Detta beror på att uppsättningen av alla element som inte finns i den tomma uppsättningen bara är uppsättningen av alla element.
• Den tomma uppsättningen är en delmängd av valfri uppsättning. Det beror på att vi bildar delmängder av en uppsättning X genom att välja (eller inte välja) element från X. Ett alternativ för en delmängd är att använda inga element alls från X. Detta ger oss den tomma uppsättningen.