Sannolikheter och Liar's Dice

Många hasardspel kan analyseras med sannolikhetens matematik. I den här artikeln kommer vi att undersöka olika aspekter av spelet som heter Liar's Dice. Efter att ha beskrivit detta spel kommer vi att beräkna sannolikheter relaterade till det.

Spelet om Liar's Dice är faktiskt en familj av spel som involverar bluff och bedrägeri. Det finns ett antal varianter av det här spelet, och det går flera olika namn som Pirate's Dice, Deception och Dudo. En version av det här spelet presenterades i filmen Pirates of the Caribbean: Dead Man's Chest.

I den version av spelet som vi kommer att undersöka har varje spelare en kopp och en uppsättning med samma antal tärningar. Tärningarna är standard, sexsidiga tärningar som är numrerade från en till sex. Alla rullar sina tärningar och håller dem täckta av koppen. Vid rätt tidpunkt tittar en spelare på sin tärningssats och håller dem dolda för alla andra. Spelet är utformat så att varje spelare har perfekt kunskap om sin egen uppsättning tärningar, men har ingen kunskap om de andra tärningarna som har rullats.

Efter att alla har haft en möjlighet att titta på sina tärningar som rullades, börjar bud. På varje varv har en spelare två val: ge ett högre bud eller ring det föregående budet en lögn. Bud kan göras högre genom att bjuda ett högre tärningsvärde från en till sex, eller genom att bjuda ett större antal av samma tärningsvärde.

Till exempel kan ett bud på "Tre tvåor" höjas genom att ange "Fyra tvåor." Det kan också ökas genom att säga "Tre trekanter." I allmänhet kan varken antalet tärningar eller värdena på tärningarna minska.

Eftersom de flesta tärningarna är dolda för synen är det viktigt att veta hur man beräknar vissa sannolikheter. Genom att veta detta är det lättare att se vilka bud som sannolikt kommer att vara sanna och vilka som sannolikt kommer att vara lögner.

Det första övervägandet är att fråga, "Hur många tärningar av samma slag skulle vi förvänta oss?" Om vi ​​till exempel rullar fem tärningar, hur många av dessa skulle vi förvänta oss att vara två? Svaret på denna fråga använder idén om förväntat värde.

Det förväntade värdet för en slumpmässig variabel är sannolikheten för ett visst värde multiplicerat med detta värde.

Sannolikheten för att den första dören är en två är 1/6. Eftersom tärningarna är oberoende av varandra är sannolikheten för att någon av dem är två är 1/6. Detta innebär att det förväntade antalet rullade två är 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Naturligtvis finns det inget speciellt med resultatet av två. Det finns inte heller något speciellt med antalet tärningar som vi övervägde. Om vi ​​rullade n tärningar, då är det förväntade antalet av något av de sex möjliga utfallen n/6. Det här numret är bra att veta eftersom det ger oss en baslinje att använda när vi ifrågasätter bud som andra har gjort.

Om vi ​​till exempel spelar lygnarens tärningar med sex tärningar är det förväntade värdet för något av värdena 1 till 6 6/6 = 1. Det betyder att vi borde vara skeptiska om någon bjuder in mer än ett av något värde. På lång sikt skulle vi i genomsnitt ha ett av var och en av de möjliga värdena.

Anta att vi rullar fem tärningar och vi vill hitta sannolikheten för att rulla två tre. Sannolikheten för att en dyn är en tre är 1/6. Sannolikheten för att ett munstycke inte är tre är 5/6. Rullar av dessa tärningar är oberoende händelser, och så multiplicerar vi sannolikheterna tillsammans med multiplikationsregel.

Sannolikheten för att de första två tärningarna är tre och de andra tärningarna inte är tre ges av följande produkt:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

De två första tärningarna som är tre är bara en möjlighet. Tärningarna som är tre kan vara två av de fem tärningarna som vi rullar. Vi anger en dyn som inte är en tre av en *. Följande är möjliga sätt att ha två tre av fem rullar:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Vi ser att det finns tio sätt att rulla exakt två tre av fem tärningar.

Vi multiplicerar nu vår sannolikhet ovan med de tio sätt som vi kan ha denna konfiguration av tärningar. Resultatet är 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Detta är ungefär 16%.

Vi generaliserar nu exemplet ovan. Vi överväger sannolikheten för rullning n tärningar och få exakt k som har ett visst värde.

Precis som tidigare är sannolikheten för att rulla det antal vi vill ha 1/6. Sannolikheten för att inte rulla detta nummer anges av komplementregel som 5/6. Vi vill k av våra tärningar för att vara det valda numret. Detta innebär att n - k är ett annat nummer än det vi vill ha. Sannolikheten för den första k tärningar är ett visst nummer med de andra tärningarna, inte detta nummer är:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Det skulle vara tråkigt, för att inte tala om tidskrävande, att lista alla möjliga sätt att rulla en viss tärningskonfiguration. Det är därför det är bättre att använda våra räknarprinciper. Genom dessa strategier ser vi att vi räknar kombinationer.

Det finns C (n, k) sätt att rulla k av en viss typ av tärningar ur n tärningar. Detta nummer ges med formeln n!/(k!(n - k)!)

Att sätta samman allt ser vi att när vi rullar n tärningar, sannolikheten för att exakt k av dem är ett visst tal anges med formeln:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Det finns ett annat sätt att överväga den här typen av problem. Detta innebär binomial distribution med sannolikhet för framgång som ges av p = 1/6. Formeln för exakt k av dessa tärningar som ett visst antal kallas sannolikhetsmassfunktionen för binomialen distribution.

En annan situation som vi borde överväga är sannolikheten för att rulla åtminstone ett visst antal av ett visst värde. Till exempel, när vi rullar fem tärningar, vad är sannolikheten för att rulla minst tre? Vi kunde rulla tre, fyra eller fem. För att bestämma sannolikheten vi vill hitta lägger vi till tre sannolikheter.

Nedan har vi en tabell över sannolikheter för att få exakt k av ett visst värde när vi rullar fem tärningar.

Därefter överväger vi följande tabell. Det ger sannolikheten att rulla minst ett visst antal värden när vi rullar totalt fem tärningar. Vi ser att även om det är mycket troligt att rulla minst en 2, så är det inte lika troligt att rulla minst fyra 2: er.