En sak som är bra med matematik är det sätt som till synes oberoende områden i ämnet samlas på överraskande sätt. Ett exempel på detta är tillämpningen av en idé från kalkylen till klockkurva. Ett verktyg i kalkylen som kallas derivatet används för att besvara följande fråga. Var är böjningspunkterna på grafen för sannolikhetsdensitetsfunktionen för det normala distribution?
Kurvor har olika funktioner som kan klassificeras och kategoriseras. Ett objekt som rör kurvor som vi kan överväga är om grafen för en funktion ökar eller minskar. En annan funktion avser något som kallas konkavitet. Det kan grovt betraktas som den riktning som en del av kurvan vetter mot. Mer formellt konkavitet är riktningen av krökningen.
En del av en kurva sägs vara konkav om den är formad som bokstaven U. En del av en kurva är konkav nedåt om den är formad som följande ∩. Det är lätt att komma ihåg hur det ser ut om vi tänker på en grotta som öppnar antingen uppåt för konkava upp eller nedåt för konkav nedåt. En böjningspunkt är där en kurva förändrar konkaviteten. Med andra ord är det en punkt där en kurva går från konkav upp till konkav ned, eller vice versa.
I beräkningen är derivatet ett verktyg som används på olika sätt. Medan den mest kända användningen av derivatet är att bestämma lutningen för en linjetangens till en kurva vid en given punkt, finns det andra tillämpningar. En av dessa applikationer har att göra med att hitta böjningspunkter i grafen för en funktion.
Om grafen för y = f (x) har en böjningspunkt vid x = a, sedan det andra derivatet av f utvärderas kl en är noll. Vi skriver detta i matematisk notation som f '' (a) = 0. Om det andra derivatet av en funktion är noll vid en punkt, innebär detta inte automatiskt att vi har hittat en böjningspunkt. Vi kan dock leta efter potentiella böjningspunkter genom att se var det andra derivatet är noll. Vi kommer att använda den här metoden för att bestämma platsen för böjningspunkterna för normalfördelningen.
Från detta är det lätt att se att böjningspunkterna uppstår där x = μ ± σ. Med andra ord är böjningspunkterna en standardavvikelse över medelvärdet och en standardavvikelse under medelvärdet.