Vad är den Cauchy distributionen

En distribution av en slumpmässig variabel är viktig inte för dess applikationer, utan för vad den berättar om våra definitioner. Cauchy-fördelningen är ett sådant exempel, ibland kallat ett patologiskt exempel. Anledningen till detta är att även om denna distribution är väl definierad och har en koppling till ett fysiskt fenomen, har distributionen inget medelvärde eller varians. Faktum är att denna slumpmässiga variabel inte har en ögonblicksgenererande funktion.

Vi definierar Cauchy-distributionen genom att överväga en spinnare, till exempel typen i ett brädspel. Centret för denna spinnare kommer att förankras på y axeln vid punkten (0, 1). Efter att ha snurrat spinnaren kommer vi att förlänga linjesegmentet för spinnaren tills den passerar x-axeln. Detta kommer att definieras som vår slumpmässiga variabel X.

Vi låter w beteckna de mindre av de två vinklarna som spinnaren gör med y axel. Vi antar att denna spinnare är lika sannolik att bilda valfri vinkel som en annan, och därför har W en enhetlig fördelning som sträcker sig från -π / 2 till π / 2

Grundläggande trigonometri ger oss en koppling mellan våra två slumpmässiga variabler:

X = solbrännaW.

Den kumulativa fördelningsfunktionen förXhärleds enligt följande:

H(x) = P(X < x) = P(solbrännaW < x) = P(W < arctanX)

Vi använder sedan det faktum attW är enhetlig, och detta ger oss:

H(x) = 0.5 + (arctanx)/π

För att erhålla sannolikhetsdensitetsfunktionen differentierar vi den kumulativa densitetsfunktionen. Resultatet är h(x) = 1/[π (1 + x²) ]

Det som gör Cauchy-distributionen intressant är att även om vi har definierat den med hjälp av det fysiska systemet för a slumpmässig spinner, en slumpmässig variabel med en Cauchy-distribution har inte en genomsnitt, varians eller momentgenererande fungera. Alla stunder om det ursprung som används för att definiera dessa parametrar finns inte.

Vi börjar med att överväga medelvärdet. Medlet definieras som det förväntade värdet för vår slumpmässiga variabel och så E [X] = ∫_-∞^∞x /[π (1 + x²)] dx.

Vi integrerar genom att använda utbyte. Om vi ​​ställer in u = 1 +x² då ser vi att du = 2x dx. Efter att ha gjort substitutionen, konvergerar den resulterande felaktiga integralen inte. Detta innebär att det förväntade värdet inte finns, och att medelvärdet är odefinierat.

På samma sätt definieras variansen och momentgenereringsfunktionen.

Cauchy-distributionen är uppkallad efter den franska matematikern Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857). Trots att denna distribution har namngivits för Cauchy, publicerades information om distributionen först av poisson.