Sannolikheter för att rulla tre tärningar

Tärningar ger fantastiska illustrationer för begrepp med sannolikhet. De vanligaste tärningarna är kuber med sex sidor. Här ser vi hur man beräknar sannolikheter för att rulla tre standardtärningar. Det är ett relativt standardproblem att beräkna sannolikheten för summan erhållen med rulla två tärningar. Det finns totalt 36 olika rullar med två tärningar, med vilken summa som är från 2 till 12 möjligt.Hur förändras problemet om vi lägger till fler tärningar?

Precis som en dör har sex resultat och två tärningar har 6² = 36 resultat, sannolikhetsförsöket att rulla tre tärningar har 6³ = 216 resultat. Denna idé generaliseras ytterligare för fler tärningar. Om vi ​​rullar n tärningar så finns det 6ⁿ utfall.

Vi kan också överväga de möjliga summorna från att rulla flera tärningar. Minsta möjliga summa inträffar när alla tärningar är de minsta eller en vardera. Detta ger en summa av tre när vi rullar tre tärningar. Det största antalet på en dyn är sex, vilket innebär att den största möjliga summan inträffar när alla tre tärningarna är sex. Summan av denna situation är 18.

När n tärningar rullas, minsta möjliga summa är n och den största möjliga summan är 6n.

• Det finns ett möjligt sätt tre tärningar kan totalt 3
• 3 sätt för 4
• 6 för 5
• 10 för 6
• 15 för 7
• 21 för 8
• 25 för 9
• 27 för 10
• 27 för 11
• 25 för 12
• 21 för 13
• 15 för 14
• 10 för 15
• 6 för 16
• 3 för 17
• 1 för 18

Som diskuterats ovan inkluderar de tre möjliga summorna för tre tärningar varje nummer från tre till 18. Sannolikheterna kan beräknas med hjälp av räkningsstrategier och erkänner att vi letar efter sätt att dela upp ett nummer i exakt tre heltal. Till exempel är det enda sättet att få en summa av tre 3 = 1 + 1 + 1. Eftersom varje matris är oberoende av de andra, kan en summa som fyra erhållas på tre olika sätt:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Ytterligare räkneargumenter kan användas för att hitta antalet sätt att bilda de andra summorna. Partitionerna för varje summa följer:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

När tre olika nummer bildar partitionen, till exempel 7 = 1 + 2 + 4, finns det 3! (3x2x1) olika sätt att flytta om dessa siffror. Så detta skulle räkna till tre resultat i provutrymmet. När två olika nummer bildar partitionen, finns det tre olika sätt att permutera dessa nummer.

Vi delar det totala antalet sätt att få varje summa med det totala antalet resultat i provutrymmeteller 216. Resultaten är:

• Sannolikhet för en summa av 3: 1/216 = 0,5%
• Sannolikhet för en summa av 4: 3/216 = 1,4%
• Sannolikhet för en summa av 5: 6/216 = 2,8%
• Sannolikhet för en summa av 6: 10/216 = 4,6%
• Sannolikhet för en summa av 7: 15/216 = 7,0%
• Sannolikhet för en summa av 8: 21/216 = 9,7%
• Sannolikhet för summan 9: 25/216 = 11,6%
• Sannolikhet för en summa av 10: 27/216 = 12,5%
• Sannolikhet för en summa av 11: 27/216 = 12,5%
• Sannolikhet för en summa av 12: 25/216 = 11,6%
• Sannolikhet för en summa av 13: 21/216 = 9,7%
• Sannolikhet för en summa av 14: 15/216 = 7,0%
• Sannolikhet för en summa av 15: 10/216 = 4,6%
• Sannolikhet för en summa av 16: 6/216 = 2,8%
• Sannolikhet för en summa av 17: 3/216 = 1,4%
• Sannolikhet för en summa av 18: 1/216 = 0,5%

Som kan ses är de extrema värdena 3 och 18 minst troliga. De summor som är exakt i mitten är de mest troliga. Detta motsvarar vad som observerades när två tärningar rullades.