En nollfaktorial är ett matematiskt uttryck för antalet sätt att ordna en datauppsättning utan värden i, vilket är lika med en. I allmänhet faktoriell av ett tal är ett kort sätt att skriva ett multiplikationsuttryck där antalet multipliceras med varje nummer mindre än det men större än noll. 4! = 24 är till exempel detsamma som att skriva 4 x 3 x 2 x 1 = 24, men man använder ett utropstecken till höger om fabriksnumret (fyra) för att uttrycka samma ekvation.
Det är ganska tydligt från dessa exempel hur man beräknar fakulteten för alla heltal som är större än eller lika med en, men varför är värdet på nollfaktoriellt trots den matematiska regeln att allt multiplicerat med noll är lika med noll?
Definitionen av fabriken säger att 0! = 1. Detta förvirrar vanligtvis människor första gången de ser denna ekvation, men vi kommer att se nedan exempel varför detta är meningsfullt när du tittar på definitionen, permutationer av och formler för noll faktoriell.
Definitionen av ett nollfaktorium
Den första anledningen till att nollfaktoriellhet är lika med en är att detta är vad definitionen säger att den borde vara, vilket är en matematiskt korrekt förklaring (om det är något otillfredsställande). Ändå måste man komma ihåg att definitionen av ett faktorial är produkten av alla heltal lika med eller mindre i värde till originalnummer - med andra ord, ett faktorium är antalet kombinationer som är möjliga med nummer som är mindre än eller lika med det siffra.
Eftersom noll inte har några nummer mindre än det men fortfarande är i sig självt ett nummer finns det bara en möjlig kombination av hur den datauppsättningen kan ordnas: den kan inte. Detta räknas fortfarande som ett sätt att ordna det, så per definition är ett nollfaktoriellt lika med ett, precis som 1! är lika med en eftersom det bara finns ett enda möjligt arrangemang av denna datamängd.
För en bättre förståelse av hur detta är förnuftigt matematiskt är det viktigt att notera att faktorer som dessa används för att bestämma möjliga beställningar av information i en sekvens, även känd som permutationer, vilket kan vara användbart för att förstå att även om det inte finns några värden i en tom eller nolluppsättning, finns det fortfarande ett sätt som uppsättningen är anordnad.
Permutationer och Factorials
EN permutation är en specifik, unik ordning av element i en uppsättning. Till exempel finns det sex permutationer i uppsättningen {1, 2, 3}, som innehåller tre element, eftersom vi kan skriva dessa element på följande sex sätt:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Vi kan också säga detta faktum genom ekvation 3! = 6, vilket är en faktorisk representation av hela uppsättningen permutationer. På liknande sätt finns det fyra! = 24 permutationer av en uppsättning med fyra element och 5! = 120 permutationer av en uppsättning med fem element. Så ett alternativt sätt att tänka på fabriken är att låta n vara ett naturligt tal och säga det n! är antalet permutationer för en uppsättning med n element.
Med det här sättet att tänka på fabriken, låt oss titta på några fler exempel. Ett set med två element har två permutationer: {a, b} kan ordnas som a, b eller som b, a. Detta motsvarar 2! = 2. En uppsättning med ett element har en enda permutation, eftersom elementet 1 i uppsättningen {1} bara kan beställas på ett sätt.
Detta leder oss till noll factorial. Uppsättningen med nollelement kallas tom uppsättning. För att hitta värdet på noll factorial, frågar vi, "Hur många sätt kan vi beställa en uppsättning utan element?" Här måste vi sträcka vårt tänkande lite. Även om det inte finns något att ordna, finns det ett sätt att göra detta. Således har vi 0! = 1.
Formler och andra valideringar
En annan anledning till definitionen av 0! = 1 har att göra med formlerna som vi använder för permutationer och kombinationer. Detta förklarar inte varför noll factorial är en, men det visar varför inställning 0! = 1 är en bra idé.
En kombination är en gruppering av element i en uppsättning utan hänsyn till ordningen. Tänk till exempel uppsättningen {1, 2, 3}, där det finns en kombination som består av alla tre elementen. Oavsett hur vi ordnar dessa element, slutar vi med samma kombination.
Vi använder formeln för kombinationer med kombinationen av tre element tagna tre åt gången och se att 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!), Och om vi behandlar 0! som en okänd mängd och löser algebraiskt ser vi att 3! 0! = 3! och så 0! = 1.
Det finns andra skäl till att definitionen av 0! = 1 är korrekt, men orsakerna ovan är de mest enkla. Den övergripande idén i matematik är att när nya idéer och definitioner konstrueras kvarstår de överensstämmer med annan matematik, och det är exakt vad vi ser i definitionen av noll factorial är lika med en.