Beräkning av moment med exempel

När man studerar hur objekt roterar blir det snabbt nödvändigt att ta reda på hur en given kraft resulterar i en förändring av rotationsrörelsen. En krafts tendens att orsaka eller ändra rotationsrörelse kallas vridmoment, och det är ett av de viktigaste begreppen att förstå när man löser rotationsrörelsessituationer.

Moment (även kallad moment - mestadels av ingenjörer) beräknas genom att multiplicera kraft och avstånd. De SI-enheter vridmoment är Newton-meter, eller N * m (även om dessa enheter är desamma som Joules, vridmoment är inte arbete eller energi, så borde bara vara Newton-meter).

Vid beräkningar representeras vridmomentet av den grekiska bokstaven tau: τ.

Vridmoment är en vektor kvantitet, vilket betyder att den har både en riktning och en storlek. Detta är ärligt en av de svåraste delarna av att arbeta med vridmoment eftersom det beräknas med en vektorprodukt, vilket innebär att du måste tillämpa den högra regeln. I det här fallet, ta din höger hand och krulla fingrarna på din hand i rotationsriktningen orsakad av kraften. Din högra hand tummen pekar nu i riktning mot vridmomentvektorn. (Detta kan ibland känna sig lite dumt, när du håller upp handen och pantomimerar för att göra det räkna ut resultatet av en matematisk ekvation, men det är det bästa sättet att visualisera riktningen på vektor.)

Vektorformeln som ger vridmomentvektorn τ är:

τ = r × F

Vektorn r är positionsvektorn med avseende på ett ursprung på rotationsaxeln (Denna axel är τ på bilden). Detta är en vektor med en storlek på avståndet där kraften appliceras på rotationsaxeln. Den pekar från rotationsaxeln mot den punkt där kraften appliceras.

Storleken på vektorn beräknas baserat på θ, vilket är vinkelskillnaden mellan r och F, med formeln:

τ = rFsynd(θ)

Ett par viktiga punkter om ovanstående ekvation, med några referensvärden på θ:

• θ = 0 ° (eller 0 radianer) - Kraftvektorn pekar ut i samma riktning som r. Som ni kan gissa är detta en situation där kraften inte orsakar någon rotation runt axeln... och matematiken ger detta. Eftersom synd (0) = 0, resulterar denna situation i τ = 0.
• θ = 180 ° (eller π radianer) - Detta är en situation där kraftvektorn pekar direkt in i r. Återigen, att skjuta mot rotationsaxeln kommer inte att orsaka någon rotation heller, och än en gång stöder matematiken denna intuition. Eftersom sin (180 °) = 0 är vridmomentets värde återigen τ = 0.
• θ = 90 ° (eller π/ 2 radianer) - Här är kraftvektorn vinkelrätt mot positionsvektorn. Detta verkar vara det mest effektiva sättet att du kan trycka på objektet för att öka rotationen, men stöder matematiken detta? Tja, sin (90 °) = 1, vilket är det maximala värdet som sinusfunktionen kan nå, vilket ger ett resultat av τ = rF. Med andra ord skulle en kraft som appliceras i någon annan vinkel ge mindre vridmoment än när den appliceras vid 90 grader.
• Samma argument som ovan gäller för fall av θ = -90 ° (eller -π/ 2 radianer), men med ett värde på sin (-90 °) = -1 vilket resulterar i det maximala vridmomentet i motsatt riktning.

Låt oss överväga ett exempel där du tillämpar en vertikal kraft nedåt, till exempel när du försöker lossa tappmuttrarna på ett platt däck genom att kliva på skruvnyckeln. I den här situationen är den ideala situationen att ha skruvnyckeln perfekt horisontell, så att du kan kliva på slutet av den och få maximalt vridmoment. Tyvärr fungerar det inte. I stället passar tappnyckeln på tappmuttrarna så att den är i 15% lutning mot horisontellt. Fästnyckeln är 0,60 m lång tills slutet, där du använder din fulla vikt på 900 N.

Hur stor är momentet?

Vad sägs om riktning ?: Genom att använda regeln "lefty-loosey, righty-tighty" vill du att lugsmuttern roterar åt vänster - moturs - för att lossa den. Använd höger hand och krulla fingrarna moturs, och tummen sticker ut. Så vridmomentets riktning är borta från däcken... vilket också är riktningen du vill att lugnmutterna i slutändan ska gå.

För att börja beräkna vridmomentets värde måste du inse att det finns en något vilseledande punkt i ovanstående uppsättning. (Detta är ett vanligt problem i dessa situationer.) Observera att de 15% som nämns ovan är lutningen från det horisontella, men det är inte vinkeln θ. Vinkeln mellan r och F måste beräknas. Det finns en 15 ° lutning från horisontellt plus 90 ° avstånd från horisontellt till nedåtriktad kraftvektor, vilket resulterar i totalt 105 ° som värdet av θ.

Det är den enda variabeln som kräver installation, så med den på plats tilldelar vi bara de andra variabla värdena:

• θ = 105°
• r = 0,60 m
• F = 900 N

τ = rF synd(θ) =
(0,60 m) (900 N) sin (105 °) = 540 x 0,097 Nm = 520 Nm

Observera att ovanstående svar involverade att bara bibehålla två signifikanta siffror, så det är avrundat.

Ovanstående ekvationer är särskilt användbara när det finns en enda känd kraft som verkar på ett objekt, men det finns många situationer där en rotation kan orsakas av en kraft som inte lätt kan mätas (eller kanske många sådana krafter). Här beräknas vridmomentet ofta inte direkt utan kan istället beräknas utifrån summan vinkelacceleration, α, att objektet genomgår. Detta förhållande ges av följande ekvation:

• Στ - Nettosumman för allt vridmoment som verkar på föremålet
• jag - ögonblick av tröghet, som representerar objektets motstånd mot en förändring i vinkelhastighet
• α - vinkelacceleration