Max- och inflektionspunkter för Chi-Square-distribution

Matematisk statistik använder tekniker från olika grenar av matematik för att definitivt bevisa att uttalanden om statistik är sanna. Vi kommer att se hur man använder kalkylen för att bestämma värden som nämns ovan för båda maximivärden för chi-square distribution, som motsvarar dess läge, samt hitta böjningspunkten för distribution.

Innan vi gör detta kommer vi att diskutera funktionerna i maxima och böjpunkter i allmänhet. Vi kommer också att undersöka en metod för att beräkna maximalt böjpunkterna.

För en diskret uppsättning data är läget det vanligaste värdet. På ett histogram med data skulle detta representeras av den högsta stapeln. När vi väl vet det högsta fältet tittar vi på datavärdet som motsvarar basen för den här fältet. Detta är läget för vår datauppsättning.

Samma idé används för att arbeta med en kontinuerlig distribution. Den här gången för att hitta läget letar vi efter den högsta toppen i distributionen. För en graf över denna fördelning är toppens höjd ett y-värde. Detta y-värde kallas ett maximum för vår graf eftersom värdet är större än något annat y-värde. Läget är värdet längs den horisontella axeln som motsvarar detta maximala y-värde.

Även om vi helt enkelt kan titta på en graf över en distribution för att hitta läget, finns det några problem med den här metoden. Vår noggrannhet är bara lika bra som vår graf, och vi kommer sannolikt att behöva uppskatta. Det kan också vara svårigheter att kartlägga vår funktion.

En alternativ metod som inte kräver grafering är att använda kalkyl. Metoden vi kommer att använda är enligt följande:

1. Börja med sannolikhetsdensitetsfunktionen f (x) för vår distribution.
2. Beräkna det första och det andra derivat av denna funktion: f '(x) och f ''(x)
3. Ställ in detta första derivat lika med noll f '(x) = 0.
4. Lösa åt x.
5. Anslut värdena från föregående steg till det andra derivatet och utvärdera. Om resultatet är negativt har vi ett lokalt maximum vid värdet x.
6. Utvärdera vår funktion f (x) vid alla punkter x från föregående steg.
7. Utvärdera sannolikhetsdensitetsfunktionen på eventuella slutpunkter för dess stöd. Så om funktionen har domän som ges av det stängda intervallet [a, b], utvärdera funktionen vid slutpunkterna en och b.
8. Det största värdet i steg 6 och 7 är funktionens absoluta maximum. X-värdet där detta maximalt inträffar är distributionsläget.

Nu går vi igenom stegen ovan för att beräkna läget för chi-square distribution med r grader av frihet. Vi börjar med sannolikhetsdensitetsfunktionen f(x) som visas på bilden i den här artikeln.

f (x) = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Här K är en konstant som involverar gammafunktion och en kraft av 2. Vi behöver inte känna till detaljerna (men vi kan hänvisa till formeln i bilden för dessa).

Det första derivatet av denna funktion ges med hjälp av produktregel så väl som kedjeregel:

f '( x ) = K (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Vi ställer detta derivat lika med noll och faktorerar uttrycket på höger sida:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)x^-1- 1/2]

Sedan konstanten K, de exponentiell funktion och x^{r / 2-1} är alla icke-noll, vi kan dela båda sidor av ekvationen med dessa uttryck. Vi har då:

0 = (r / 2 - 1)x^-1- 1/2

Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 2:

0 = (r - 2)x^-1- 1

Således 1 = (r - 2)x^-1och vi avslutar med att ha x = r - 2. Detta är punkten längs den horisontella axeln där läget inträffar. Det indikerar x värdet på toppen av vår chi-square distribution.

En annan funktion i en kurva handlar om hur den kurvar. Delar av en kurva kan vara konkava, som en stor bokstav U. Kurvor kan också vara konkava ner och formade som en genomskärning symbol ∩. Där kurvan förändras från konkav ned till konkav upp, eller vice versa har vi en böjningspunkt.

Det andra derivatet av en funktion detekterar konkaviteten i grafen för funktionen. Om det andra derivatet är positivt är kurvan konkav. Om det andra derivatet är negativt, är kurvan konkav nedåt. När det andra derivatet är lika med noll och grafen för funktionen ändrar konkavitet, har vi en böjningspunkt.

För att hitta böjningspunkterna i en graf:

1. Beräkna det andra derivatet av vår funktion f ''(x).
2. Ställ in detta andra derivat lika med noll.
3. Lös ekvationen från föregående steg för x.

Nu ser vi hur du arbetar genom ovanstående steg för chi-square distribution. Vi börjar med att differentiera. Från ovanstående arbete såg vi att det första derivatet för vår funktion är:

f '(x) = K (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Vi differentierar igen och använder produktregeln två gånger. Vi har:

f ''( x ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) x^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2}

Vi ställer in detta lika med noll och delar båda sidor med Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) x^{r / 2-2}

Genom att kombinera liknande termer har vi:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}

Multiplicera båda sidor med 4x^{3 - r / 2}, detta ger oss:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x+ x^2.

Den kvadratiska formeln kan nu användas för att lösa för x.

x = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Vi utökar villkoren som tas till 1/2 strömmen och ser följande:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Detta innebär att:

x = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Från detta ser vi att det finns två böjningspunkter. Dessutom är dessa punkter symmetriska beträffande distributionssättet eftersom (r - 2) är halvvägs mellan de två böjningspunkterna.

Vi ser hur båda dessa funktioner är relaterade till antalet frihetsgrader. Vi kan använda den här informationen för att hjälpa till med att skissa en chi-square distribution. Vi kan också jämföra denna distribution med andra, till exempel normalfördelningen. Vi kan se att böjningspunkterna för en chi-kvadratfördelning sker på andra platser än böjningspunkter för normalfördelning.