De associerande och kommutativa egenskaperna

Det finns flera matematiska egenskaper som används i statistik och sannolikhet; två av dessa, de kommutativa och associerande egenskaperna, är i allmänhet associerade med den grundläggande aritmetiken för heltal, skäl och riktiga nummeräven om de också dyker upp i mer avancerad matematik.

Dessa egenskaper - det kommutativa och det associativa - är mycket lika och kan enkelt blandas. Av den anledningen är det viktigt att förstå skillnaden mellan de två.

Den kommutativa egenskapen avser ordningen för vissa matematiska operationer. För en binär operation - en som endast innefattar två element - kan detta visas med ekvationen a + b = b + a. Åtgärden är kommutativ eftersom orden på elementen inte påverkar resultatet av operationen. Den associerande egenskapen å andra sidan avser gruppering av element i en operation. Detta kan visas med ekvationen (a + b) + c = a + (b + c). Gruppering av elementen, som indikeras av parenteserna, påverkar inte resultatet av ekvationen. Observera att när den kommutativa egenskapen används, är element i en ekvation

Enkelt uttryckt anger den kommutativa egenskapen att faktorerna i en ekvation kan omarrangeras fritt utan att det påverkar utfallet av ekvationen. Den kommutativa egenskapen berör sig därför beställningen av operationer, inklusive tillägg och multiplikation av reella tal, heltal och rationella nummer.

Till exempel kan siffrorna 2, 3 och 5 läggas till i vilken ordning som helst utan att det påverkar slutresultatet:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

Siffrorna kan också multipliceras i valfri ordning utan att det påverkar slutresultatet:

2 x 3 x 5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5 x 3 x 2 = 30

Subtraktion och uppdelning är emellertid inte operationer som kan vara kommuterande eftersom arbetsordningens ordning är viktig. De tre siffrorna ovan kan inte, till exempel, subtraheras i någon ordning utan att påverka det slutliga värdet:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

Som ett resultat kan den kommutativa egenskapen uttryckas genom ekvationerna a + b = b + a och a x b = b x a. Oavsett vilken ordning värdena i dessa ekvationer är, kommer resultaten alltid att vara desamma.

Den associerande egenskapen anger att gruppering av faktorer i en operation kan ändras utan att påverka utfallet av ekvationen. Detta kan uttryckas genom ekvationen a + (b + c) = (a + b) + c. Oavsett vilket par värden i ekvationen som läggs till först kommer resultatet att vara detsamma.

Ta till exempel ekvationen 2 + 3 + 5. Oavsett hur värdena grupperas kommer resultatet av ekvationen att vara 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Liksom med den kommutativa egenskapen inkluderar exempel på operationer som är associerande tillägg och multiplikation av reella tal, heltal och rationella nummer. Till skillnad från den kommutativa egenskapen kan den associativa egenskapen även gälla matrismultiplikation och funktionskomposition.

Liksom kommutativa fastighetsekvationer kan associativa egenskapsekvationer inte innehålla subtraktion av verkliga siffror. Ta till exempel det aritmetiska problemet (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; om vi ändrar gruppering av parenteser har vi 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, vilket förändrar det slutliga resultatet av ekvationen.

Vi kan se skillnaden mellan den associativa och den kommutativa egenskapen genom att ställa frågan: "Ändrar vi ordningen på elementen, eller ändrar vi gruppering av elementen? ” Om elementen omordnas, kommer den kommutativa egenskapen gäller. Om elementen endast omgrupperas, gäller den associerande egenskapen.

Observera dock att förekomsten av parenteser inte nödvändigtvis betyder att den associerande egenskapen gäller. Till exempel:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Denna ekvation är ett exempel på den kommutativa egenskapen att lägga till reella tal. Men om vi uppmärksammar ekvationen, ser vi att endast elementens ordning har ändrats, inte gruppering. För att den associerande egenskapen ska kunna tillämpas, måste vi också ordna om gruppering av elementen:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3