Hur man hittar frihetsgrader i statistik

Många statistiska inferensproblem kräver att vi hittar antalet grader av frihet. Antalet frihetsgrader väljer en enda sannolikhetsfördelning bland oändligt många. Detta steg är en ofta förbisett men avgörande detalj i både beräkningen avförtroendeintervaller och arbetet med hypotestest.

Det finns inte en enda allmän formel för antalet frihetsgrader. Det finns emellertid specifika formler som används för varje typ av procedur i inferentialstatistik. Med andra ord kommer den inställning som vi arbetar i att bestämma antalet frihetsgrader. Nedan följer en partiell lista över några av de vanligaste inferensprocedurerna, tillsammans med antalet frihetsgrader som används i varje situation.

Förfaranden som involverar standard normalfördelning listas för fullständighet och för att rensa upp vissa missuppfattningar. Dessa förfaranden kräver inte att vi hittar antalet frihetsgrader. Anledningen till detta är att det finns en enda standard normalfördelning. Dessa typer av förfaranden omfattar de som involverar en befolkningsmedelvärde när befolkningsstandardavvikelsen redan är känd, och även procedurer för befolkningsförhållanden.

Ibland kräver statistisk praxis att vi använder studentens t-distribution. För dessa förfaranden, till exempel de som handlar om en befolkningsmedel med okänd befolkningsstandardavvikelse, är antalet frihetsgrader en mindre än provstorleken. Således om provstorleken är n, så finns det n - 1 frihetsgrader.

Många gånger är det vettigt att behandla data som parade. Parningen utförs vanligtvis på grund av en anslutning mellan det första och det andra värdet i vårt par. Många gånger parade vi oss före och efter mätningar. Vårt prov av parade data är inte oberoende; skillnaden mellan varje par är emellertid oberoende. Således om provet har totalt n par datapunkter, (för totalt 2n värden) då finns det n - 1 frihetsgrader.

För dessa typer av problem använder vi fortfarande en t-fördelningen. Den här gången finns det ett urval från var och en av våra populationer. Även om det är att föredra att dessa två prover ska ha samma storlek är detta inte nödvändigt för våra statistiska förfaranden. Således kan vi ha två prover av storlek n₁ och n₂. Det finns två sätt att bestämma antalet frihetsgrader. Den mer exakta metoden är att använda Welchs formel, en beräkningsmässig besvärlig formel som involverar provstorlekar och provstandardavvikelser. En annan metod, kallad den konservativa tillnärmningen, kan användas för att snabbt uppskatta graden av frihet. Detta är helt enkelt det minsta av de två siffrorna n₁ - 1 och n₂ - 1.

En användning av chi-square test är att se om två kategoriska variabler, var och en med flera nivåer, uppvisar oberoende. Informationen om dessa variabler är inloggad a tvåvägsbord med r rader och c kolumner. Antalet frihetsgrader är produkten (r - 1)(c - 1).

Chi-kvadratisk passform börjar med en enda kategorisk variabel med totalt n nivåer. Vi testar hypotesen att denna variabel matchar en förutbestämd modell. Antalet frihetsgrader är en mindre än antalet nivåer. Med andra ord finns det n - 1 frihetsgrader.

En faktor variansanalys (ANOVA) tillåter oss att göra jämförelser mellan flera grupper, vilket eliminerar behovet av flera parvisa hypotestest. Eftersom testet kräver att vi mäter både variationen mellan flera grupper såväl som variationen inom varje grupp, slutar vi med två frihetsgrader. De F-statistik, som används för en faktor ANOVA, är en bråkdel. Räknaren och nämnaren har vardera frihetsgrader. Låta c vara antalet grupper och n är det totala antalet datavärden. Antalet frihetsgrader för telleren är en mindre än antalet grupper, eller c - 1. Antalet frihetsgrader för nämnaren är det totala antalet datavärden minus antalet grupper eller n - c.

Det är tydligt att vi måste vara mycket försiktiga med att veta vilket inferensförfarande vi arbetar med. Denna kunskap kommer att informera oss om rätt antal grader av frihet att använda.