Sannolikhet för att slumpmässigt välja ett primnummer

Talteori är en gren av matematik det handlar om uppsättningen heltal. Vi begränsar oss något genom att göra detta eftersom vi inte direkt studerar andra nummer, till exempel irrationella. Men andra typer av riktiga nummer används. Utöver detta har ämnet för sannolikhet många kopplingar och korsningar med sifferteori. En av dessa anslutningar har att göra med distributionen av primtal. Mer specifikt kan vi fråga, vad är sannolikheten för att ett slumpmässigt valt heltal från 1 till x är ett primtal?

Som med alla matematikproblem är det viktigt att inte bara förstå vilka antaganden som görs utan också definitionerna av alla nyckeltermer i problemet. För detta problem överväger vi de positiva heltalen, vilket betyder hela siffrorna 1, 2, 3... upp till ett antal x. Vi väljer slumpmässigt ett av dessa nummer, vilket betyder att alla x av dem är lika sannolikt att väljas.

Vi försöker bestämma sannolikheten för att ett primtal är valt. Därför måste vi förstå definitionen av ett primtal. Ett primtal är ett positivt heltal som har exakt två faktorer. Detta innebär att de enda delarna av primtal är en och själva numret. Så 2,3 och 5 är primes, men 4, 8 och 12 är inte prime. Vi noterar att eftersom det måste finnas två faktorer i ett primtal är antalet 1

Lösningen på detta problem är enkel för låga siffror x. Allt vi behöver göra är att helt enkelt räkna antalet primer som är mindre än eller lika med x. Vi delar antalet primer mindre än eller lika med x med numret x.

För att hitta sannolikheten för att en prim är vald från 1 till 10 krävs det att vi delar upp antalet primtal från 1 till 10 med 10. Siffrorna 2, 3, 5, 7 är prim, så sannolikheten för att en prim är vald är 4/10 = 40%.

Sannolikheten för att en prim är vald från 1 till 50 kan hittas på liknande sätt. De primärer som är mindre än 50 är: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 och 47. Det finns 15 primes mindre än eller lika med 50. Sannolikheten för att en prim är vald slumpmässigt är således 15/50 = 30%.

Denna process kan genomföras genom att helt enkelt räkna primor så länge vi har en lista över primer. Till exempel finns det 25 primes mindre än eller lika med 100. (Således är sannolikheten för att ett slumpmässigt valt antal från 1 till 100 är primärt 25/100 = 25%.) Men om vi inte har en lista av primer, kan det vara beräkningsmässigt skrämmande att bestämma uppsättningen av primtal som är mindre än eller lika med en given siffra x.

Om du inte har en räkning av antalet primer som är mindre än eller lika med x, så finns det ett alternativt sätt att lösa detta problem. Lösningen innebär ett matematiskt resultat som kallas primtalssatsen. Detta är ett uttalande om den övergripande fördelningen av primorna och kan användas för att ungefärliga sannolikheten för att vi försöker fastställa.

Primärsatsen säger att det finns ungefär x / ln (x) primtal som är mindre än eller lika med x. Här ln (x) anger den naturliga logaritmen för x, eller med andra ord logaritmen med en bas av numret e. Som värdet på x ökar tillnärmningen förbättras, i den meningen att vi ser en minskning av det relativa felet mellan antalet primer mindre än x och uttrycket x / ln (x).

Vi kan använda resultatet av primtalssatsen för att lösa problemet vi försöker lösa. Vi vet med huvudsatsen att det finns ungefär x / ln (x) primtal som är mindre än eller lika med x. Dessutom finns det totalt x positiva heltal mindre än eller lika med x. Därför är sannolikheten för att ett slumpmässigt valt nummer i detta intervall är primärt (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Vi kan nu använda detta resultat för att approximera sannolikheten för att slumpmässigt välja ett primtal från det första miljard heltal. Vi beräknar den naturliga logaritmen på en miljard och ser att ln (1 000 000 000) är ungefär 20,7 och 1 / ln (1 000 000 000) är ungefär 0,0483. Således har vi ungefär en 4,83% sannolikhet för att slumpmässigt välja ett primtal av de första miljarder heltal.