Vi lär oss ganska tidigt i vår matematikkarriär att faktoriell, definierat för icke-negativa heltal n, är ett sätt att beskriva upprepad multiplikation. Det betecknas med användning av ett utropstecken. Till exempel:
Det enda undantaget från denna definition är noll factorial, där 0! = 1. När vi tittar på dessa värden för fabriken, kan vi koppla ihop n med n!. Detta skulle ge oss poäng (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), och så på.
Definitionen av gammafunktionen är mycket komplex. Det innebär en komplicerad formel som ser väldigt konstig ut. Gamma-funktionen använder en viss kalkyl i sin definition, liksom siffra e Till skillnad från mer kända funktioner såsom polynomier eller trigonometriska funktioner definieras gammafunktionen som en felaktig integral av en annan funktion.
Definitionen av gammafunktionen kan användas för att demonstrera ett antal identiteter. En av de viktigaste av dessa är att Γ ( z + 1 ) = z Γ( z ). Vi kan använda detta och det faktum att Γ (1) = 1 från den direkta beräkningen:
Men vi behöver inte bara ange hela siffror i gammafunktionen. Alla komplexa nummer som inte är ett negativt heltal ligger inom gamma-funktionens domän. Detta innebär att vi kan utöka fakultetet till andra siffror än icke-heltal. Av dessa värden är ett av de mest kända (och överraskande) resultaten att Γ (1/2) = √π.
Ett annat resultat som liknar det sista är att Γ (1/2) = -2π. I själva verket producerar gammafunktionen alltid en utgång från en multipel av kvadratroten av pi när en udda multipel av 1/2 matas in i funktionen.
Gamfunktionen visas i många, till synes oberoende, matematikfält. I synnerhet är generaliseringen av faktoriet som tillhandahålls av gammafunktionen användbar i vissa kombinatorik- och sannolikhetsproblem. Vissa sannolikhetsfördelningar definieras direkt i termer av gammafunktionen. Till exempel anges gammafördelningen i termer av gammafunktionen. Denna fördelning kan användas för att modellera tidsintervallet mellan jordbävningar. Studentens distribution, som kan användas för data där vi har en okänd populationsstandardavvikelse, och chi-kvadratfördelningen definieras också i termer av gammafunktionen.