Förstå ekvivalenta ekvationer i algebra

Ekvivalenta ekvationer är system för ekvationer som har samma lösningar. Att identifiera och lösa ekvivalenta ekvationer är en värdefull färdighet, inte bara i algebra klass men också i vardagen. Ta en titt på exempel på ekvivalenta ekvationer, hur du löser dem för en eller flera variabler och hur du kan använda den här färdigheten utanför ett klassrum.

Key Takeaways

De enklaste exemplen på ekvivalenta ekvationer har inga variabler. Till exempel är dessa tre ekvationer ekvivalenta med varandra:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Att erkänna att dessa ekvationer är likvärdiga är bra, men inte särskilt användbart. Vanligtvis ber ett ekvivalent ekvationsproblem dig lösa för en variabel för att se om det är detsamma (samma

Till exempel är följande ekvationer ekvivalenta:

• x = 5
• -2x = -10

I båda fallen är x = 5. Hur vet vi detta? Hur löser du detta för "-2x = -10" ekvationen? Det första steget är att känna till reglerna för ekvivalenta ekvationer:

• tillsats eller subtrahera samma antal eller uttryck till båda sidor av en ekvation ger en ekvivalent ekvation.
• Att multiplicera eller dela båda sidor av en ekvation med samma antal som inte är noll ger en ekvivalent ekvation.
• Höjning av båda sidor av ekvationen till samma udda kraft eller om du tar samma udda rot ger en ekvivalent ekvation.
• Om båda sidorna av en ekvation är icke-negativ, att höja båda sidor av en ekvation till samma jämna effekt eller ta samma jämna rot kommer att ge en ekvivalent ekvation.

Utföra dessa regler i praktiken och bestäm om dessa två ekvationer är likvärdiga:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

För att lösa detta måste du hitta "x" för varje ekvation. Om "x" är samma för båda ekvationerna, är de ekvivalenta. Om "x" är annorlunda (dvs. ekvationerna har olika rötter) är ekvationerna inte ekvivalenta. För den första ekvationen:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (subtrahera båda sidor med samma nummer)
• x = 5

För den andra ekvationen:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (subtrahera båda sidor med samma nummer)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (dela båda sidor av ekvationen med samma antal)
• x = 5

Så, ja, de två ekvationerna är likvärdiga eftersom x = 5 i båda fallen.

Du kan använda likvärdiga ekvationer i det dagliga livet. Det är särskilt användbart när du shoppar. Till exempel gillar du en viss skjorta. Ett företag erbjuder skjortan för $ 6 och har $ 12 frakt, medan ett annat företag erbjuder skjortan för $ 7,50 och har $ 9 frakt. Vilken skjorta har det bästa priset? Hur många tröjor (kanske du vill få dem till vänner) skulle du behöva köpa för att priset ska vara detsamma för båda företagen?

För att lösa detta problem, låt "x" vara antalet skjortor. Till att börja med, ställ in x = 1 för köp av en skjorta. För företag nr 1:

• Pris = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = $ 18

För företag nr 2:

• Pris = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = $ 16,50

Så om du köper en skjorta erbjuder det andra företaget en bättre affär.

För att hitta den punkt där priserna är lika, låt "x" förbli antalet skjortor, men ställ in de två ekvationerna lika med varandra. Lös för "x" för att hitta hur många tröjor du skulle behöva köpa:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9 - 12 (subtraktion samma nummer eller uttryck från varje sida)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (dela båda sidor med samma antal, -1)
• x = 3 / 1,5 (dela båda sidor med 1,5)
• x = 2

Om du köper två skjortor är priset detsamma, oavsett var du får det. Du kan använda samma matematik för att avgöra vilket företag som ger dig en bättre affär med större order och även för att beräkna hur mycket du sparar med ett företag framför det andra. Se, algebra är användbart!

Om du har två ekvationer och två okända (x och y) kan du bestämma om två uppsättningar linjära ekvationer är ekvivalenta.

Om du till exempel har ekvationerna:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Du kan bestämma om följande system är likvärdigt:

• -x + 4y = 5
• 7x-10y = -2

Till lös detta problem, hitta "x" och "y" för varje system med ekvationer. Om värdena är desamma är ekvationssystemen likvärdiga.

Börja med den första uppsättningen. Att lösa två ekvationer med två variabler, isolera en variabel och anslut lösningen till den andra ekvationen. Så här isolerar du variabeln "y":

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12 år
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (anslut till "x" i den andra ekvationen)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Anslut nu "y" till endera ekvationen för att lösa för "x":

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Genom att arbeta igenom detta får du så småningom x = 7/3.

För att besvara frågan, du skulle kunna tillämpa samma principer på den andra uppsättningen ekvationer för att lösa för "x" och "y" för att finna att ja, de är verkligen likvärdiga. Det är lätt att fastna i algebra, så det är en bra idé att kontrollera ditt arbete med en online-ekvationslösare.

Den smarta studenten kommer dock att märka att de två uppsättningarna ekvationer är likvärdiga utan att göra några svåra beräkningar alls. Den enda skillnaden mellan den första ekvationen i varje uppsättning är att den första är tre gånger den andra (ekvivalent). Den andra ekvationen är exakt densamma.