Exponentiella funktioner berätta historierna om explosiv förändring. De två typerna av exponentiella funktioner är exponentiell tillväxt och exponentiell förfall. Fyra variabler (procentändring, tid, belopp i början av tidsperioden och belopp i slutet av tidsperioden) spelar roller i exponentiella funktioner. Använd en exponentiell sönderfallsfunktion för att hitta mängden i början av tidsperioden.
Exponential Decay
Exponentiellt förfall är förändringen som inträffar när ett ursprungligt belopp reduceras med en jämn takt över en tidsperiod.
Här är en exponentiell sönderfallsfunktion:
y = a (1-b)x
- y: Det slutliga beloppet som återstår efter förfallet under en tidsperiod
- en: Det ursprungliga beloppet
- x: Tid
- Förfallfaktorn är (1-b)
- Variabeln b är procenten av minskningen i decimalform.
Syfte att hitta det ursprungliga beloppet
Om du läser den här artikeln är du förmodligen ambitiös. Sex år från nu, kanske du vill bedriva en grundexamen på Dream University. Med en prislapp på 120 000 dollar framkallar Dream University ekonomiska nattförskräckningar. Efter sömnlösa nätter träffar du, mamma och pappa en ekonomisk planerare. Dina föräldrars blodblodiga ögon lyser upp när planeraren avslöjar att en investering med åtta procent tillväxttakt kan hjälpa din familj att nå målet på 120 000 dollar. Studera hårt. Om du och dina föräldrar investerar 75 620,36 $ idag, kommer Dream University att bli din verklighet tack vare exponentiellt förfall.
Hur man löser
Denna funktion beskriver investeringens exponentiella tillväxt:
120,000 = en(1 +.08)6
- 120 000: Slutligt belopp kvar efter 6 år
- .08: Årlig tillväxttakt
- 6: Antalet år för investeringen att växa
- en: Det initiala beloppet som din familj investerade
Tack vare jämlikhetens symmetriska egenskap, 120 000 = en(1 +.08)6 är det samma som en(1 +.08)6 = 120,000. I symmetrisk egenskap av jämlikhet anges att om 10 + 5 = 15, så är 15 = 10 + 5.
Om du föredrar att skriva om ekvationen med konstanten (120 000) till höger om ekvationen, gör det.
en(1 +.08)6 = 120,000
Ekvationen ser inte ut som en linjär ekvation (6en = $ 120 000), men det är lösbart. Hålla fast vid det!
en(1 +.08)6 = 120,000
Lös inte denna exponentiella ekvation genom att dela 120 000 med 6. Det är ett frestande matte-nej.
1. Använd ordningsfunktioner för att förenkla
en(1 +.08)6 = 120,000
en(1.08)6 = 120 000 (parentes)
en(1,586874323) = 120 000 (exponent)
2. Lös med skilje
en(1.586874323) = 120,000
en(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1en = 75,620.35523
en = 75,620.35523
Det ursprungliga beloppet att investera är ungefär 75 620,36 dollar.
3. Frys: Du är inte klar ännu; använd ordningsfunktioner för att kontrollera ditt svar
120,000 = en(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Parentes)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (Exponent)
120 000 = 120 000 (multiplikation)
Svar och förklaringar till frågorna
Woodforest, Texas, en förort till Houston, är fast besluten att stänga den digitala klyftan i sitt samhälle. För några år sedan upptäckte samhällsledarna att deras medborgare var datainlitteratur. De hade inte tillgång till internet och stängdes ur informationssnabbvägen. Ledarna etablerade World Wide Web on Wheels, en uppsättning mobila datorstationer.
World Wide Web on Wheels har uppnått sitt mål att bara 100 dator analfabeter i Woodforest. Samhällsledare studerade den månatliga utvecklingen av World Wide Web on Wheels. Enligt uppgifterna kan nedgången hos datoronfatta medborgare beskrivas med följande funktion:
100 = en(1 - .12)10
1. Hur många är datan analfabeter 10 månader efter början av World Wide Web on Wheels?
- 100 personer
Jämför denna funktion med den ursprungliga exponentiella tillväxtfunktionen:
100 = en(1 - .12)10
y = a (1 + b)x
De variabely representerar antalet analfabetiserade personer i slutet av tio månader, så 100 personer är fortfarande datainlitterat efter att World Wide Web on Wheels började arbeta i samhället.
2. Representerar denna funktion exponentiellt förfall eller exponentiell tillväxt?
- Denna funktion representerar exponentiellt förfall eftersom ett negativt tecken sitter framför procentändringen (.12).
3. Vad är den månatliga förändringsgraden?
- 12 procent
4. Hur många personer var datan analfabeta för tio månader sedan början av World Wide Web on Wheels?
- 359 personer
Använda sig avordning på verksamheten att förenkla.
100 = en(1 - .12)10
100 = en(.88)10 (Parentes)
100 = en(.278500976) (Exponent)
Dela upp för att lösa.
100(.278500976) = en(.278500976) / (.278500976)
359.0651689 = 1en
359.0651689 = en
Kontrollera ditt svar genom att använda ordningsfunktionen.
100 = 359.0651689(1 - .12)10
100 = 359.0651689(.88)10 (Parentes)
100 = 359,0651689 (.278500976) (exponent)
100 = 100 (multiplicera)
5. Om dessa trender fortsätter, hur många människor kommer att vara datainlitteratur 15 månader efter början av World Wide Web on Wheels?
- 52 personer
Lägg till vad du vet om funktionen.
y = 359.0651689(1 - .12) x
y = 359.0651689(1 - .12) 15
Använd Order of Operations för att hitta y.
y = 359.0651689(.88)15 (Parentes)
y = 359.0651689 (.146973854) (Exponent)
y = 52,77319167 (multiplicera).