Förväntat värde på en binomial distribution

Binomiala fördelningar är en viktig klass av diskreta sannolikhetsfördelningar. Dessa typer av distributioner är en serie av n oberoende Bernoulli-försök, som var och en har en konstant sannolikhet p av framgång. Som med alla sannolikhetsfördelningar skulle vi vilja veta vad dess medel eller centrum är. För detta frågar vi verkligen: ”Vad är det? förväntat värde av binomialfördelningen? ”

Om vi ​​noggrant tänker på a binomial distribution, är det inte svårt att fastställa att det förväntade värdet på denna typ av sannolikhetsfördelning är np. För några snabba exempel på detta, fundera på följande:

• Om vi ​​kastar 100 mynt och X är antalet huvuden, det förväntade värdet på X är 50 = (1/2) 100.
• Om vi ​​tar ett flervalstest med 20 frågor och varje fråga har fyra val (endast en av vilket är korrekt), då skulle gissa slumpmässigt innebära att vi bara förväntar oss att få (1/4) 20 = 5 frågor korrekt.

I båda dessa exempel ser vi det E [X] = n p. Två fall räcker knappast för att nå en slutsats. Även om intuition är ett bra verktyg för att vägleda oss räcker det inte att bilda ett matematiskt argument och att bevisa att något är sant. Hur bevisar vi definitivt att det förväntade värdet på denna distribution verkligen är

Från definitionen av förväntat värde och sannolikhetsmassafunktionen för binomial distribution av n studier av sannolikheten för framgång p, kan vi visa att vår intuition matchar frukterna av matematisk rigoritet. Vi måste vara något försiktiga i vårt arbete och smidiga i våra manipulationer av den binomiala koefficienten som ges av formeln för kombinationer.

Vi börjar med att använda formeln:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) s^x(1-p)^{n - x}.

Eftersom varje term i summeringen multipliceras med x, värdet på termen som motsvarar x = 0 blir 0, och så kan vi faktiskt skriva:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) s ^x (1 - p) ^{n - x} .

Genom att manipulera de faktorer som är involverade i uttrycket för C (n, x) vi kan skriva om

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Detta är sant eftersom:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / ((( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Det följer att:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) s ^x (1 - p) ^{n - x} .

Vi faktorerar ut n och en p från ovanstående uttryck:

E [X] = np Σ _{x = 1}ⁿ C (n - 1, x - 1) s ^{x - 1} (1 - p) ^{(n - 1) - (x - 1)} .

En förändring av variabler r = x - 1 ger oss:

E [X] = np Σ _{r = 0}^{n - 1} C (n - 1, r) p ^r (1 - p) ^{(n - 1) - r} .

Med den binomiella formeln, (x + y)^k = Σ _{r = 0} ^kC (k, r) x^r y^{k - r} sammanfattningen ovan kan skrivas om:

E [X] = (np) (p + (1 - p))^{n - 1} = np.

Ovanstående argument har tagit oss långt. Från början med definitionen av förväntat värde och sannolikhetsmassafunktion för en binomialfördelning har vi bevisat att vad vår intuition berättade för oss. Det förväntade värdet på binomial distributionB (n, p) är n p.