Hur man härleder formeln för kombinationer

Efter att ha sett formler tryckta i en lärobok eller skrivna på tavlan av en lärare är det ibland förvånande att ta reda på att många av dessa formler kan härledas från några grundläggande definitioner och noggranna tankar. Detta är särskilt sant med sannolikhet när man undersöker formeln för kombinationer. Avledningen av denna formel förlitar sig egentligen bara på multiplikationsprincipen.

Anta att det finns en uppgift att göra och denna uppgift är indelad i totalt två steg. Det första steget kan göras i k sätt och det andra steget kan göras i n sätt. Detta betyder att efter multiplicerande dessa nummer tillsammans är antalet sätt att utföra uppgiften nk.

Till exempel, om du har tio sorters glass att välja mellan och tre olika toppings, hur många en scoop, en toppning sola kan du göra? Multiplicera tre med 10 för att få 30 solstolar.

Använd nu multiplikationsprincipen för att härleda formeln för antalet kombinationer av r element tagna från en uppsättning av

Tänk på vad som händer när du bildar en permutation av r element från totalt n. Titta på detta som en tvåstegsprocess. Välj först en uppsättning med r element från en uppsättning n. Detta är en kombination och det finns det C(n, r) sätt att göra detta. Det andra steget i processen är att beställa r element med r val för det första, r - 1 val för den andra, r - 2 för tredje, 2 val för näst sista och 1 för sista. Genom multiplikationsprincipen finns det r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! sätt att göra detta. Denna formel är skriven med factorial notation.

För att sammanfatta, P(n,r ), antalet sätt att bilda en permutation av r element från totalt n bestäms av:

1. Bildar en kombination av r element ur totalt n i någon av C(n,r ) sätt
2. Beställer dessa r element någon av r! sätt.

Genom multiplikationsprincipen är antalet sätt att bilda en permutation P(n,r ) = C(n,r ) x r!.

Använda formeln för permutationer P(n,r ) = n!/(n - r)!, som kan ersättas med formeln ovan:

n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.

Lös nu detta, antalet kombinationer, C(n,r ), och se det C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].

Som visas kan lite tanke och algebra gå långt. Andra formler för sannolikhet och statistik kan också härledas med vissa noggranna tillämpningar av definitioner.