Sannolikheten att rulla ett fullt hus i Yahtzee?

Spelet Yahtzee innebär användning av fem standardtärningar. På varje tur får spelarna tre rullar. Efter varje rullning kan valfritt antal tärningar hållas med målet att erhålla särskilda kombinationer av dessa tärningar. Varje annan typ av kombination är värt en annan mängd poäng.

En av dessa typer av kombinationer kallas ett fullt hus. Liksom ett fullt hus i pokerspelet innehåller denna kombination tre av ett visst antal tillsammans med ett par med ett annat nummer. Eftersom Yahtzee involverar slumpmässig rullning av tärningar, kan detta spel analyseras med hjälp av sannolikhet för att avgöra hur troligt det är att rulla ett fullt hus i en enda rulle.

Vi börjar med att ange våra antaganden. Vi antar att tärningarna som används är rättvisa och oberoende av varandra. Detta innebär att vi har ett enhetligt provutrymme bestående av alla möjliga rullar av de fem tärningarna. Även om spelet Yahtzee tillåter tre rullar, kommer vi bara att överväga att vi får ett fullt hus i en enda rulle.

Eftersom vi arbetar med en enhetligprovutrymmet, beräkningen av vår sannolikhet blir en beräkning av ett par räkningsproblem. Sannolikheten för ett fullt hus är antalet sätt att rulla ett fullt hus, dividerat med antalet resultat i provutrymmet.

Antalet resultat i provutrymmet är enkelt. Eftersom det finns fem tärningar och var och en av dessa tärningar kan ha ett av sex olika utfall är antalet utfall i provutrymmet 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Därefter beräknar vi antalet sätt att rulla ett fullt hus. Detta är ett svårare problem. För att ha ett fullt hus behöver vi tre av en typ av tärningar, följt av ett par av en annan tärningstyp. Vi kommer att dela upp problemet i två delar:

• Vad är antalet olika typer av fullt hus som kan rullas?
• Hur många sätt kan en viss typ av fullt hus rullas?

När vi vet antalet till var och en av dessa kan vi multiplicera dem tillsammans för att ge oss det totala antalet fulla hus som kan rullas.

Vi börjar med att titta på antalet olika typer av fulla hus som kan rullas. Vilket som helst av siffrorna 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 kan användas för tre av ett slag. Det finns fem återstående nummer för paret. Således finns det 6 x 5 = 30 olika typer av fullt huskombinationer som kan rullas.

Vi kan till exempel ha 5, 5, 5, 2, 2 som en typ av fullt hus. En annan typ av fullt hus skulle vara 4, 4, 4, 1, 1. En annan ännu skulle vara 1, 1, 4, 4, 4, vilket är annorlunda än föregående hela hus eftersom rollerna för fyra och de har bytts.

Nu bestämmer vi det olika antalet sätt att rulla ett visst helhus. Till exempel ger vart och ett av följande samma hus med tre fyra och två:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Vi ser att det finns minst fem sätt att rulla ett speciellt fullt hus. Finns det andra? Även om vi fortfarande listar andra möjligheter, hur vet vi att vi har hittat dem alla?

Nyckeln till att svara på dessa frågor är att inse att vi har att göra med ett räkneproblem och att avgöra vilken typ av räkningsproblem vi arbetar med. Det finns fem positioner, och tre av dessa måste fyllas med en fyra. Ordningen i vilken vi placerar våra fyra spelar ingen roll så länge de exakta positionerna är fyllda. När fyraplatsernas position har fastställts är placeringen av dem automatiskt. Av dessa skäl måste vi ta hänsyn till kombination av fem positioner tagna tre åt gången.

Vi använder kombinationsformeln för att få C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Det betyder att det finns tio olika sätt att rulla ett givet hus.

Att sammanföra allt detta, vi har vårt antal fulla hus. Det finns 10 x 30 = 300 sätt att få ett fullt hus i en rulle.

Nu den sannolikheten för ett fullt hus är en enkel uppdelningsberäkning. Eftersom det finns 300 sätt att rulla ett fullt hus i en enda rulle och det finns 7776 rullar med fem tärningar möjliga är sannolikheten för att rulla ett fullt hus 300/7776, vilket är nära 1/26 och 3,85%. Detta är 50 gånger mer troligt än att rulla en Yahtzee i en enda rulle.

Naturligtvis är det mycket troligt att den första rullen inte är ett fullt hus. Om så är fallet, får vi ytterligare två rullar som gör ett fullt hus mycket mer troligt. Sannolikheten för detta är mycket mer komplicerad att fastställa på grund av alla möjliga situationer som måste övervägas.