Dirac delta-funktionen är namnet som ges till en matematisk struktur som är avsedd att representera ett idealiserat punktobjekt, till exempel en punktmassa eller punktladdning. Den har breda tillämpningar inom kvantmekanik och resten av kvantfysik, som det vanligtvis används inom kvantiteten vågfunktion. Delta-funktionen representeras med den grekiska små symbolen delta, skriven som en funktion: δ (x).
Hur Delta-funktionen fungerar
Denna representation uppnås genom att definiera Dirac delta-funktionen så att den har ett värde på 0 överallt utom vid ingångsvärdet 0. Vid den tidpunkten representerar den en topp som är oändligt hög. Integralen som tas över hela linjen är lika med 1. Om du har studerat kalkyl har du troligtvis stött på detta fenomen tidigare. Tänk på att detta är ett koncept som normalt introduceras för studenter efter år av studier på högskolanivå i teoretisk fysik.
Med andra ord är resultaten följande för den mest grundläggande delta-funktionen 5 (x), med en endimensionell variabel x, för några slumpmässiga inmatningsvärden:
- δ(5) = 0
- δ(-20) = 0
- δ(38.4) = 0
- δ(-12.2) = 0
- δ(0.11) = 0
- δ(0) = ∞
Du kan skala upp funktionen genom att multiplicera den med en konstant. Enligt beräkningsreglerna kommer multiplikation med ett konstant värde också att öka integralens värde med den konstanta faktorn. Eftersom integralen av 5 (x) över alla verkliga siffror är 1 och sedan multiplicera den med en konstant av skulle ha en ny integral lika med den konstanten. Så till exempel 27δ (x) har en integral över alla verkliga siffror på 27.
En annan användbar sak att tänka på är att eftersom funktionen har ett icke-nollvärde endast för en ingång på 0, så om du tittar på ett koordinatnät där din punkt inte är uppradad rätt vid 0, detta kan representeras med ett uttryck inuti funktionsinmatningen. Så om du vill representera idén att partikeln är i en position x = 5, då skulle du skriva Dirac delta-funktionen som δ (x - 5) = ∞ [sedan δ (5 - 5) = ∞].
Om du sedan vill använda den här funktionen för att representera en serie punktpartiklar i ett kvantsystem kan du göra det genom att lägga till olika dirac delta-funktioner. För ett konkret exempel kan en funktion med punkter vid x = 5 och x = 8 representeras som δ (x - 5) + δ (x - 8). Om du sedan tog en integral av denna funktion över alla siffror, skulle du få en integral som representerar verkliga siffror, även om funktionerna är 0 på alla andra platser än de två där där är poäng. Detta koncept kan sedan utvidgas till att representera ett utrymme med två eller tre dimensioner (istället för det endimensionella fallet som jag använde i mina exempel).
Detta är en riktigt kort introduktion till ett mycket komplext ämne. Det viktigaste att inse om det är att Dirac delta-funktionen i princip existerar för det enda syftet att göra integrationen av funktionen meningsfull. När det inte sker någon integral är närvaron av Dirac delta-funktionen inte särskilt användbar. Men i fysiken, när du har att göra från ett område utan partiklar som plötsligt existerar på en enda punkt, är det ganska bra.
Källan till Delta-funktionen
I sin bok från 1930, Principer för kvantmekanik, Engelsk teoretisk fysiker Paul Dirac lade fram viktiga element i kvantmekaniken, inklusive bra-ket-notationen och även hans Dirac delta-funktion. Dessa blev standardkoncept inom kvantmekanik inom området Schrodinger-ekvation.