Beräkningen av a prov varians eller standardavvikelse anges vanligen som en bråkdel. Siffran för denna bråkdel innefattar en summa av kvadratiska avvikelser från medelvärdet. I statistik, är formeln för denna totala summa kvadrater
Σ (xjag - x̄)2
Här refererar symbolen x̄ till genomsnittsmedlet, och symbolen Σ berättar för oss att lägga till de kvadratiska skillnaderna (xjag - x̄) för alla jag.
Medan denna formel fungerar för beräkningar, finns det en ekvivalent genvägsformel som inte kräver att vi först beräknar provmedelvärde. Denna genvägsformel för summan av rutorna är
Σ (xjag2) - (Σ xjag)2/n
Här variabeln n hänvisar till antalet datapunkter i vårt prov.
Standardformelexempel
För att se hur denna genvägsformel fungerar kommer vi att överväga ett exempel som beräknas med båda formlerna. Anta att vårt prov är 2, 4, 6, 8. Provmedlet är (2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 20/4 = 5. Nu beräknar vi skillnaden för varje datapunkt med medelvärdet 5.
- 2 – 5 = -3
- 4 – 5 = -1
- 6 – 5 = 1
- 8 – 5 = 3
Vi kvadrerar nu vart och ett av dessa nummer och lägger dem samman. (-3)2 + (-1)2 + 12 + 32 = 9 + 1 + 1 + 9 = 20.
Exempel på genvägsformel
Nu kommer vi att använda samma uppsättning data: 2, 4, 6, 8 med genvägsformeln för att bestämma summan av kvadrater. Vi kvadrerar först varje datapunkt och lägger till dem tillsammans: 22 + 42 + 62 + 82 = 4 + 16 + 36 + 64 = 120.
Nästa steg är att lägga till alla data och kvadratera denna summa: (2 + 4 + 6 + 8)2 = 400. Vi delar detta med antalet datapunkter för att få 400/4 = 100.
Vi drar nu detta nummer från 120. Detta ger oss att summan av de kvadratiska avvikelserna är 20. Detta var exakt det antal som vi redan har hittat från den andra formeln.
Hur fungerar detta?
Många accepterar bara formeln till nominellt värde och har ingen aning om varför denna formel fungerar. Genom att använda lite algebra kan vi se varför denna genvägsformel motsvarar det traditionella, traditionella sättet att beräkna summan av kvadratavvikelser.
Även om det kan finnas hundratals, om inte tusentals värden i en verklig datauppsättning, kommer vi att anta att det bara finns tre datavärden: x1, x2, x3. Det vi ser här kan utökas till en datauppsättning som har tusentals poäng.
Vi börjar med att notera det (x1 + x2 + x3) = 3 x̄. Uttrycket Σ (xjag - x̄)2 = (x1 - x̄)2 + (x2 - x̄)2 + (x3 - x̄)2.
Vi använder nu faktum från grundläggande algebra som (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Detta betyder att (x1 - x̄)2 = x12 -2x1 x̄ + x̄2. Vi gör detta för de andra två termerna i vår sammanfattning, och vi har:
x12 -2x1 x̄ + x̄2 + x22 -2x2 x̄ + x̄2 + x32 -2x3 x̄ + x̄2.
Vi ordnar detta och har:
x12+ x22 + x32+ 3x̄2 - 2x̄ (x1 + x2 + x3) .
Genom att skriva om (x1 + x2 + x3) = 3x̄ ovan blir:
x12+ x22 + x32 - 3x̄2.
Nu sedan 3x̄2 = (x1+ x2 + x3)2/ 3, vår formel blir:
x12+ x22 + x32 - (x1+ x2 + x3)2/3
Och detta är ett speciellt fall med den allmänna formeln som nämnts ovan:
Σ (xjag2) - (Σ xjag)2/n
Är det verkligen en genväg?
Det kanske inte verkar som att denna formel verkligen är en genväg. I exemplet ovan verkar det trots allt lika många beräkningar. En del av detta har att göra med att vi bara tittade på en provstorlek som var liten.
När vi ökar storleken på vårt prov ser vi att genvägsformeln minskar antalet beräkningar med ungefär hälften. Vi behöver inte subtrahera medelvärdet från varje datapunkt och sedan kvadratera resultatet. Detta minskar det totala antalet operationer avsevärt.