Inte alla oändliga uppsättningar är desamma. Ett sätt att skilja mellan dessa uppsättningar är genom att fråga om uppsättningen är countable oändlig eller inte. På det här sättet säger vi att oändliga uppsättningar antingen är räknbara eller otalbara. Vi kommer att överväga flera exempel på oändliga uppsättningar och bestämma vilka av dessa som är otaliga.
Oändligt oändligt
Vi börjar med att utesluta flera exempel på oändliga uppsättningar. Många av de oändliga uppsättningarna som vi omedelbart skulle tänka på befinner sig vara oändliga. Detta innebär att de kan sättas in i en-till-en-korrespondens med de naturliga siffrorna.
De naturliga siffrorna, heltal och rationella siffror är alla oändliga. Varje förening eller skärningspunkt mellan oändligt många uppsättningar är också räknbara. Den kartesiska produkten av valfritt antal räknbara uppsättningar är räknbar. Alla delmängder i en räknbar uppsättning är också räknbara.
Oräknelig
Det vanligaste sättet att otaliga uppsättningar införs är att ta hänsyn till intervallet (0, 1) för
riktiga nummer. Från detta faktum och en-till-en-funktionen f( x ) = bx + en. det är ett enkelt resultat att visa att alla intervall (en, b) av verkliga siffror är oändligt oändligt.Hela uppsättningen med verkliga siffror är också otalbar. Ett sätt att visa detta är att använda tangentfunktionen en till en f ( x ) = solbränna x. Domänen för denna funktion är intervallet (-π / 2, π / 2), en obestämbar uppsättning och intervallet är uppsättningen för alla verkliga siffror.
Andra obegränsade uppsättningar
Operationerna i grundläggande uppsättningsteori kan användas för att producera fler exempel på oändligt oändliga uppsättningar:
- Om EN är en delmängd av B och EN är oräkneliga, då är det också B. Detta ger ett mer tydligt bevis på att hela uppsättningen med verkliga siffror är otalbar.
- Om EN är oräkneliga och B är vilken som helst uppsättning, sedan facket EN U B är också oräkneliga.
- Om EN är oräkneliga och B är vilken som helst uppsättning, sedan den kartesiska produkten EN x B är också oräkneliga.
- Om EN är oändligt (till och med oändligt oändligt) då strömförsörjning av EN är oräkneliga.
Två andra exempel som är relaterade till varandra är något överraskande. Inte varje delmängd av de verkliga siffrorna är oändligt oändligt (de rationella siffrorna utgör faktiskt en räknbar delmängd av realerna som också är tät). Vissa undergrupper är oändligt oändliga.
En av dessa oändligt oändliga delmängder involverar vissa typer av decimalutvidgningar. Om vi väljer två siffror och bildar varje möjlig decimalutvidgning med endast dessa två siffror, är den resulterande oändliga uppsättningen otalbar.
En annan uppsättning är mer komplicerad att konstruera och är också otalbar. Börja med det stängda intervallet [0,1]. Ta bort den mellersta tredjedelen av denna uppsättning, vilket resulterar i [0, 1/3] U [2/3, 1]. Ta bort den mellersta tredjedelen av var och en av de återstående bitarna i uppsättningen. Så (1/9, 2/9) och (7/9, 8/9) tas bort. Vi fortsätter på detta sätt. Uppsättningen av punkter som återstår efter att alla dessa intervall har tagits bort är inte ett intervall, men det är oändligt oändligt. Denna uppsättning kallas kantoruppsättningen.
Det finns oändligt många otaliga uppsättningar, men exemplen ovan är några av de vanligaste uppsättningarna.