Vektormatematik: En grundläggande men omfattande introduktion

Detta är en grundläggande, men förhoppningsvis ganska omfattande, introduktion till arbetet med vektorer. Vektorer manifesteras på många olika sätt från förskjutning, hastighet och acceleration till krafter och fält. Den här artikeln ägnas åt vektorns matematik; deras tillämpning i specifika situationer kommer att behandlas någon annanstans.

EN vektorkvantitet, eller vektor, ger information om inte bara storleken utan också riktningen på mängden. När du ger vägbeskrivning till ett hus räcker det inte att säga att det är 10 mil bort, men riktningen för dessa 10 mil måste också tillhandahållas för att informationen ska vara användbar. Variabler som är vektorer kommer att anges med en fet variabel, även om det är vanligt att se vektorer betecknade med små pilar ovanför variabeln.

Precis som vi inte säger att det andra huset är -10 mil bort, är storleken på en vektor alltid ett positivt tal, eller snarare det absoluta värdet på vektorns "längd" (även om kvantitet kanske inte är en längd, det kan vara en hastighet, acceleration, kraft etc.) En negativ framför en vektor indikerar inte en förändring i storleken, utan snarare i riktningen för vektor.

I exemplen ovan är avståndet den skalära kvantiteten (10 mil) men förflyttning är vektormängden (10 miles mot nordost). På samma sätt är hastighet en skalmängd medan hastigheten är en vektor kvantitet.

EN enhetsvektor är en vektor som har en storlek på en. En vektor som representerar en enhetsvektor är vanligtvis också fetstil, även om den har en karat (^) ovanför för att ange variabelns enhetstyp. Enhetsvektorn x, när det skrivs med en karat, läses vanligtvis som "x-hatt" eftersom karaten ser ut som en hatt på variabeln.

De noll vektor, eller null vektor, är en vektor med en storlek på noll. Det är skrivet som 0 i den här artikeln.

Vektorer är i allmänhet orienterade på ett koordinatsystem, varav den mest populära är det tvådimensionella kartesiska planet. Det kartesiska planet har en horisontell axel som är märkt x och en vertikal axel märkt y. Vissa avancerade tillämpningar av vektorer i fysik kräver användning av ett tredimensionellt utrymme, där axlarna är x, y och z. Den här artikeln kommer mestadels att handla om det tvådimensionella systemet, även om koncepten kan utökas med viss omsorg till tre dimensioner utan för mycket besvär.

Vektorer i koordinatsystem med flera dimensioner kan delas upp i deras komponentvektorer. I det tvådimensionella fallet resulterar detta i a x-komponent och a y-komponent. När en vektor bryts i sina komponenter är vektorn en summa av komponenterna:

F = F_x + F_y

tetaF_xF_yF

F_x / F = cos teta och F_y / F = synd tetavilket ger oss
F_x = F cos teta och F_y = F synd teta

Observera att siffrorna här är storleken på vektorerna. Vi vet riktningen för komponenterna, men vi försöker hitta deras storlek, så vi tar bort riktningsinformationen och utför dessa skalberäkningar för att räkna ut storleken. Ytterligare tillämpning av trigonometri kan användas för att hitta andra förhållanden (som tangenten) relaterade mellan vissa av dessa mängder, men jag tror att det räcker till nu.

Under många år är den enda matematiken som en student lär sig är skalematematik. Om du reser 5 mil norrut och 5 mil öster, har du rest 10 mil. Om du lägger till skalfördelningar ignoreras all information om anvisningarna.

Vektorer manipuleras något annorlunda. Riktningen måste alltid beaktas när man manipulerar dem.

När du lägger till två vektorer är det som om du tog vektorerna och placerade dem från slutet till slutet och skapade en ny vektor som kör från startpunkten till slutpunkten. Om vektorerna har samma riktning, betyder det bara att lägga till storleken, men om de har olika riktningar kan det bli mer komplicerat.

Du lägger till vektorer genom att bryta dem i deras komponenter och sedan lägga till komponenterna, enligt nedan:

en + b = c
en_x + en_y + b_x + b_y =
( en_x + b_x) + ( en_y + b_y) = c_x + c_y

De två x-komponenterna kommer att resultera i den nya variabelns x-komponent, medan de två y-komponenterna resulterar i y-komponenten för den nya variabeln.

Ordningen i vilken du lägger till vektorerna spelar ingen roll. Faktum är att flera egenskaper från skalärtillsats håller för vektortillsats:

Identitetseegenskap för vektortillsats
en + 0 = en
Inverse egenskap av vektortillsats
en + -en = en - en = 0
Reflekterande egenskap av vektortillsats
en = en
Kommutativ egendom av vektortillsats
en + b = b + en
Associativ egenskap av vektortillsats
(en + b) + c = en + (b + c)
Transitiv egenskap av vektortillsats
Om en = b och c = bdå en = c

Den enklaste operationen som kan utföras på en vektor är att multiplicera den med en skalar. Denna skalära multiplikation ändrar storleken på vektorn. Med andra ord gör det vektorn längre eller kortare.

När man multiplicerar gånger en negativ skalar kommer den resulterande vektorn att peka i motsatt riktning.

De skalprodukt av två vektorer är ett sätt att multiplicera dem tillsammans för att få en skalmängd. Detta skrivs som en multiplikation av de två vektorerna, med en punkt i mitten som representerar multiplikationen. Som sådan kallas det ofta punkt produkt av två vektorer.

För att beräkna punktprodukten för två vektorer, betraktar du vinkeln mellan dem. Med andra ord, om de delade samma utgångspunkt, vad skulle vinkelmätningen vara (teta) mellan dem. Punktprodukten definieras som:

en * b = ab cos teta

ababba

I de fall vektorerna är vinkelräta (eller teta = 90 grader), cos teta kommer att vara noll. Därför, punktprodukten för vinkelräta vektorer är alltid noll. När vektorerna är parallell (eller teta = 0 grader), cos teta är 1, så den skalära produkten är bara produkten av storleken.

Dessa fina små fakta kan användas för att bevisa att om du känner till komponenterna kan du eliminera behovet av theta helt med den (tvådimensionella) ekvationen:

en * b = en_x b_x + en_y b_y

De vektor produkt är skriven i formuläret en x b, och kallas vanligtvis korsprodukt av två vektorer. I det här fallet multiplicerar vi vektorerna och istället för att få en skalmängd kommer vi att få en vektorkvantitet. Det här är det svåraste av de vektorberäkningar som vi har att göra med, som det är inte kommutativ och involverar användning av den fruktade högerregel, som jag kommer att få till inom kort.

Återigen betraktar vi två vektorer som dras från samma punkt med vinkeln teta mellan dem. Vi tar alltid den minsta vinkeln, så teta kommer alltid att ligga inom ett intervall från 0 till 180 och resultatet blir därför aldrig negativt. Storleken på den resulterande vektorn bestämmes enligt följande:

Om c = en x bdå c = ab synd teta

Vektorprodukten av parallella (eller antiparallella) vektorer är alltid noll

Vektorprodukten kommer att vara vinkelrätt mot planet som skapas från de två vektorerna. Om du ser på planet som plant på ett bord blir frågan om den resulterande vektorn går upp (vårt "ut" av bordet, ur vårt perspektiv) eller ner (eller "in i" bordet, från vårt perspektiv).

För att ta reda på detta måste du tillämpa det som kallas högerregel. När jag studerade fysik i skolan, jag avskydda högerregeln. Varje gång jag använde den, var jag tvungen att dra ut boken för att slå upp hur den fungerade. Förhoppningsvis blir min beskrivning lite mer intuitiv än den jag introducerades för.

Om du har en x b placerar du din högra hand längs med b så att fingrarna (utom tummen) kan böjas för att peka längs med en. Med andra ord, du försöker på ett sätt göra vinkeln teta mellan handflatan och fyra fingrar på din högra hand. I det här fallet kommer tummen att sticka rakt upp (eller från skärmen, om du försöker göra det upp till datorn). Dina knogar kommer att vara grovt uppradade med utgångspunkten för de två vektorerna. Precision är inte nödvändigt, men jag vill att du ska få idén eftersom jag inte har en bild av detta att ge.

Om du funderar på b x en, du kommer att göra det motsatta. Du kommer att lägga din högra hand en och peka med fingrarna b. Om du försöker göra detta på datorskärmen kommer du att finna det omöjligt, så använd din fantasi. Du kommer att upptäcka att i detta fall pekar din fantasifulla tumme in på datorskärmen. Det är riktningen för den resulterande vektorn.

Den högra regeln visar följande förhållande:

en x b = - b x en

CABC

c_x = en_y b_z - en_z b_y
c_y = en_z b_x - en_x b_z
c_z = en_x b_y - en_y b_x

abc_xc_yc

På högre nivåer kan vektorer bli extremt komplexa att arbeta med. Hela kurser på högskolan, till exempel linjär algebra, ägnar mycket tid åt matriser (som jag undviker i denna introduktion), vektorer och vektor utrymmen. Denna detaljnivå ligger utanför denna artikels räckvidd, men det bör ge de grundläggande förutsättningarna för det mesta av vektormanipulationen som utförs i fysikklassrummet. Om du tänker studera fysik mer djup kommer du att introduceras till de mer komplexa vektorkoncepten när du fortsätter genom din utbildning.