Beräkningar med gammafunktionen

De gammafunktion definieras av följande komplicerade formel:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

En fråga som människor har när de möter denna förvirrande ekvation är: ”Hur använder du denna formel för att beräkna värden på gammafunktion? ” Detta är en viktig fråga eftersom det är svårt att veta vad denna funktion till och med betyder och vad alla symboler står för för.

Ett sätt att svara på denna fråga är genom att titta på flera provberäkningar med gammafunktionen. Innan vi gör det finns det några saker från kalkylen som vi måste veta, till exempel hur man integrerar en felaktig integral av typ I, och att e är en matematisk konstant.

Innan vi gör några beräkningar undersöker vi motivationen bakom dessa beräkningar. Många gånger dyker gammafunktionerna bakom kulisserna. Flera sannolikhetsdensitetsfunktioner anges i termer av gammafunktionen. Exempel på dessa inkluderar gammadistribution och elevernas t-distribution, vikten av gammafunktionen kan inte överskattas.

Det första exemplet som vi kommer att studera är att hitta värdet på gammafunktionen för Γ (1). Detta hittas genom inställning

∫₀^∞e ^{- t}dt

Vi beräknar integralen ovan i två steg:

• Den obestämda integralen ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Detta är en felaktig integral, så vi har ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Nästa beräkning som vi kommer att överväga liknar det sista exemplet, men vi ökar värdet på z med 1. Vi beräknar nu värdet på gammafunktionen för Γ (2) genom att ställa in z = 2 i ovanstående formel. Stegen är desamma som ovan:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Den obestämda integralen ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Även om vi bara har ökat värdet på z med 1 tar det mer arbete att beräkna denna integral. För att hitta denna integral måste vi använda en teknik från kalkylen känd som integration av delar. Vi använder nu gränserna för integration precis som ovan och behöver beräkna:

lim_{b → ∞}- vara ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Ett resultat från kalkylen som kallas L’Hospitals regel gör det möjligt för oss att beräkna gränsgränsen_{b → ∞}- vara ^{- b} = 0. Detta innebär att värdet på vår integral ovan är 1.

En annan funktion i gammafunktionen och en som ansluter den till faktoriell är formeln Γ (z +1 ) =zΓ (z ) för z alla komplexa nummer med ett positivt verklig del. Anledningen till att detta är sant är ett direkt resultat av formeln för gammafunktionen. Genom att använda integration av delar kan vi fastställa denna egenskap hos gammafunktionen.