Formeln för förväntat värde

En naturlig fråga att ställa om en sannolikhetsfördelning är: "Vad är dess centrum?" Det förväntade värdet är en sådan mätning av centrum för en sannolikhetsfördelning. Eftersom det mäter medelvärdet bör det inte överraska att denna formel härrör från medelvärdet.

För att skapa en utgångspunkt måste vi svara på frågan "Vad är det förväntade värdet?" Anta att vi har en slumpmässig variabel associerad med ett sannolikhetsexperiment. Låt oss säga att vi upprepar detta experiment om och om igen. På lång sikt av flera upprepningar av samma sannolikhetsexperiment, om vi i genomsnitt beräknade alla våra värden på slumpvariabel, skulle vi få det förväntade värdet.

I det följande kommer vi att se hur man använder formeln för förväntat värde. Vi kommer att titta på både diskreta och kontinuerliga inställningar och se likheter och skillnader i formlerna.

Vi börjar med att analysera det diskreta fallet. Givet en diskret slumpmässig variabel X, antar att det har värden

Det förväntade värdet på X ges med formeln:

E (X) = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ +... + x_np_n.

Genom att använda sannolikheten massfunktion och summation notation gör det möjligt för oss att mer kompakt skriva denna formel enligt följande, där summeringen tas över indexet jag:

E (X) = Σ x_jagf(x_jag).

Denna version av formeln är användbar att se eftersom den fungerar också när vi har ett oändligt provutrymme. Denna formel kan också enkelt justeras för det kontinuerliga fallet.

Vänd ett mynt tre gånger och låt X vara antalet huvuden. Den slumpmässiga variabeln X är diskret och begränsad. De enda möjliga värdena som vi kan ha är 0, 1, 2 och 3. Detta har en sannolikhetsfördelning på 1/8 för X = 0, 3/8 för X = 1, 3/8 för X = 2, 1/8 för X = 3. Använd den förväntade värdet för att få:

(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5

I det här exemplet ser vi att vi på längre sikt kommer att i genomsnitt ha 1,5 huvuden från detta experiment. Detta är vettigt med vår intuition eftersom hälften av 3 är 1,5.

Vi vänder oss nu till en kontinuerlig slumpmässig variabel, som vi kommer att beteckna med X. Vi låter sannolikhetsdensitetsfunktionen av X ges av funktionen f(x).

Det förväntade värdet på X ges med formeln:

E (X) = ∫ x f(x) dx.

Här ser vi att det förväntade värdet på vår slumpmässiga variabel uttrycks som en integral.

Det är många applikationer för det förväntade värdet av en slumpmässig variabel. Denna formel gör ett intressant utseende i St. Petersburg paradox.