Hur odds är relaterade till sannolikhet

Många gånger oddsen för en händelse förekommer publiceras. Till exempel kan man säga att ett visst idrottslag är en 2: 1-favorit för att vinna det stora spelet. Vad många inte inser är att odds som dessa egentligen bara är en omändring av sannolikheten för en händelse.

Sannolikheten jämför antalet framgångar med det totala antalet försök som gjorts. Oddsen för en händelse jämför antalet framgångar med antalet misslyckanden. I det följande kommer vi att se vad detta betyder mer detaljerat. Först överväger vi en liten notation.

Vi uttrycker våra odds som en förhållande av ett nummer till ett annat. Vanligtvis läser vi förhållande EN:B som "EN till B. "Varje antal av dessa förhållanden kan multipliceras med samma antal. Så oddsen 1: 2 motsvarar ordet 5:10.

Sannolikhet kan definieras noggrant med hjälp av uppsättningsteori och några axiom, men den grundläggande idén är att sannolikheten använder a riktigt nummer mellan noll och en för att mäta sannolikheten för att en händelse inträffar. Det finns olika sätt att tänka på hur man beräknar detta nummer. Ett sätt är att tänka på att utföra ett experiment flera gånger. Vi räknar antalet gånger experimentet är framgångsrikt och delar sedan detta antal med det totala antalet försök i experimentet.

Om vi ​​har EN framgångar av totalt N försök, då är sannolikheten för framgång EN/N. Men om vi istället överväger antalet framgångar kontra antalet misslyckanden, beräknar vi nu oddsen till förmån för en händelse. Om det fanns N försök och EN framgångar, då fanns det N - EN = B misslyckanden. Så oddsen till förmån är EN till B. Vi kan också uttrycka detta som EN:B.

Under de senaste fem säsongerna har övergripande fotbollsrivaler Quakers och Comets spelat varandra med Kometerna som vann två gånger och Quakers vann tre gånger. På grundval av dessa resultat kan vi beräkna sannolikheten för att Quakers vinner och oddsen till förmån för deras vinst. Det var totalt tre vinster av fem, så sannolikheten för att vinna i år är 3/5 = 0,6 = 60%. Uttryckt i termer av odds har vi att det fanns tre segrar för Quakers och två förluster, så oddsen till förmån för att de vinner är 3: 2.

Beräkningen kan gå åt andra hållet. Vi kan börja med odds för en händelse och sedan härleda sannolikheten. Om vi ​​vet att oddsen för en händelse är EN till B, då betyder det att det fanns EN framgångar för EN + B prövningar. Detta betyder att sannolikheten för händelsen är EN/(EN + B ).

En klinisk prövning rapporterar att ett nytt läkemedel har oddsen 5 till 1 för att bota en sjukdom. Vad är sannolikheten för att detta läkemedel kommer att bota sjukdomen? Här säger vi att för varje femte gång läkemedlet botar en patient finns det en gång där det inte gör det. Detta ger en sannolikhet på 5/6 att läkemedlet kommer att bota en given patient.

Sannolikheten är trevlig och får jobbet gjort, så varför har vi ett alternativt sätt att uttrycka det? Odds kan vara till hjälp när vi vill jämföra hur mycket större en sannolikhet är relativt en annan. En händelse med en sannolikhet på 75% har oddsen 75 till 25. Vi kan förenkla detta till 3 till 1. Detta innebär att händelsen är tre gånger mer sannolik att inträffa än inte inträffar.