Om du bad någon att nämna hans eller hennes favoritmatematiska konstant, skulle du förmodligen få några frågiga utseende. Efter ett tag kanske någon frivilligt att bästa konstant är pi. Men detta är inte den enda viktiga matematiska konstanten. En nära sekund, om inte utmanare för kronan av mest allestädes närvarande konstanten är e. Detta nummer visas i kalkyl, talteori, sannolikhet och statistik. Vi kommer att undersöka några av funktionerna i detta anmärkningsvärda antal och se vilka kontakter det har med statistik och sannolikhet.
Värdet av e
Som pi, e är en irrationell riktigt nummer. Detta innebär att det inte kan skrivas som en bråkdel och att dess decimalutvidgning fortsätter för evigt utan att upprepa ett antal block som kontinuerligt upprepas. Numret e är också transcendentalt, vilket betyder att det inte är roten till ett icke-noll polynom med rationella koefficienter. De första femtio decimalerna av ges av e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definition av e
Numret e upptäcktes av människor som var nyfiken på sammansatt ränta. I denna form av ränta tjänar rektor ränta och sedan tjänar räntan genererad ränta på sig själv. Det observerades att ju större frekvensen av sammansättningsperioder per år är, desto högre är det intresserade beloppet. Vi kan till exempel titta på att ränta förvärras:
- Årligen, eller en gång om året
- Halvårligen, eller två gånger om året
- Månadsvis eller 12 gånger per år
- Dagligen, eller 365 gånger per år
Det totala räntebeloppet ökar för vart och ett av dessa fall.
En fråga uppstod hur mycket pengar som eventuellt kan tjänas i ränta. För att försöka tjäna ännu mer pengar kan vi i teorin öka antalet sammansatta perioder till så högt antal som vi ville. Slutresultatet av denna ökning är att vi skulle överväga att räntan förvärras kontinuerligt.
Medan det genererade intresset ökar, gör det så mycket långsamt. Den totala summan av pengar på kontot stabiliseras faktiskt, och det värde som detta stabiliseras till är e. För att uttrycka detta med en matematisk formel säger vi att gränsen som n ökning av (1 + 1 /n)n = e.
Användningar av e
Numret e dyker upp i hela matematiken. Här är några av de platser där det ser ut:
- Det är basen för den naturliga logaritmen. Sedan Napier uppfann logaritmer, e kallas ibland Napiers konstant.
- I kalkylen exponentiell funktion ex har den unika egenskapen att vara sitt eget derivat.
- Uttryck involverar ex och e-x kombineras för att bilda den hyperboliska sinus- och hyperboliska kosinusfunktionen.
- Tack vare Eulers arbete vet vi att de grundläggande konstantema i matematiken är förenade med formeln eiΠ + 1 = 0, där jag är det imaginära antalet som är kvadratroten av negativt.
- Numret e dyker upp i olika formler i hela matematiken, speciellt området för teorin.
Värdet e i statistik
Antalet är viktigt e är inte begränsat till bara några få områden inom matematik. Det finns också flera användningar av numret e i statistik och sannolikhet. Några av dessa är följande:
- Numret e gör ett utseende i formel för gammafunktionen.
- Formlerna för standard normalfördelning involverar e till en negativ kraft. Denna formel inkluderar också pi.
- Många andra distributioner involverar användningen av numret e. Till exempel innehåller formlerna för t-distribution, gammadistribution och chi-square distribution e.