Användning av Quasiconcave Utility-funktioner i ekonomi

"Quasiconcave" är ett matematiskt koncept som har flera tillämpningar inom ekonomi. För att förstå betydelsen av termens tillämpningar i ekonomi är det användbart att börja med en kort övervägande av ursprung och betydelse av termen i matematik.

Begreppet "kvasikongrotta" infördes i början av 1900-talet i verk av John von Neumann, Werner Fenchel och Bruno de Finetti, alla framstående matematiker med intressen i både teoretisk och tillämpad matematik, deras forskning inom områden som sannolikhetsteori, spelteori och topologi så småningom lagt grunden för ett oberoende forskningsfält, så kallad "generaliserad konvexitet." Medan termen "kvasikongrotta: har applikationer inom många områden, Inklusive ekonomi, det har sitt ursprung i området generaliserad konvexitet som ett topologiskt begrepp.

Wayne State Mathematics Professor Robert Bruners korta och läsbara förklaring av topologi börjar med förståelsen att topologi är en speciell form av geometri

Detta låter lite konstigt, men tänk på att om du tar en cirkel och börjar krossa från fyra riktningar, med noggrann squash kan du producera en fyrkant. Således är en kvadrat och en cirkel topologiskt ekvivalenta. På samma sätt, om du böjer en sida av en triangel tills du har skapat ett annat hörn någonstans längs den sidan, med mer böjning, tryckning och dragning, kan du förvandla en triangel till en fyrkant. Återigen är en triangel och en kvadrat topologiskt ekvivalenta.

Quasiconcave är en topologisk egenskap som inkluderar konkavitet. Om du diagram en matematisk funktion och diagrammet ser mer eller mindre ut som en dåligt gjord skål med några bulor i den men har fortfarande en fördjupning i mitten och två ändar som lutar uppåt, det vill säga en kvasikongrottfunktion.

Det visar sig att en konkav funktion bara är ett specifikt exempel på en kvasikongrottfunktion - en utan stötar. Ur en lekpersonens perspektiv (en matematiker har ett strängare sätt att uttrycka det), en kvasikongrottfunktion inkluderar alla konkava funktioner och även alla funktioner som totalt sett är konkava men som kan ha avsnitt som faktiskt är konvex. Återigen, bild en dåligt gjord skål med några bulor och utsprång i den.

Ett sätt att matematiskt representera konsumenternas preferenser (liksom många andra beteenden) är med a verktygsfunktion. Om till exempel konsumenter föredrar bra A framför bra B, uttrycker användningsfunktionen U denna preferens som:

U (A)> U (B)

Om du visar denna funktion för en verklig uppsättning av konsumenter och varor, kan du upptäcka att diagrammet ser ut som en skål - snarare än en rak linje, det finns en sag i mitten. Denna svaghet representerar i allmänhet konsumenternas motvilja mot risk. Återigen, i den verkliga världen är denna motvilja inte konsekvent: grafen över konsumenternas preferenser ser lite ut som en ofullständig skål, en med ett antal bulor i den. I stället för att vara konkav är det i allmänhet konkav men inte perfekt så vid varje punkt i diagrammet, vilket kan ha mindre delar av konvexitet.

Med andra ord är vårt exempelgraf över konsumentpreferenser (ungefär som många exempel i verkliga världen) kvasikongrotta. De berättar för alla som vill veta mer om konsumentbeteende - till exempel ekonomer och företag som säljer konsumentvaror - var och hur kunderna svarar på förändringar i goda belopp eller kostnader.