Förtroendeintervall för en befolkningsandel

Förtroendeintervaller kan användas för att uppskatta flera populationer parametrar. En typ av parameter som kan uppskattas med slutsatsstatistik är en befolkningsandel. Vi kanske till exempel vill veta hur stor andel av den amerikanska befolkningen som stöder en viss lagstiftning. För denna typ av fråga måste vi hitta ett förtroendeintervall.

I den här artikeln kommer vi att se hur man konstruerar ett konfidensintervall för en befolkningsandel och undersöker en del av teorin bakom detta.

Vi börjar med att titta på den stora bilden innan vi går in på detaljerna. Den typ av konfidensintervall som vi kommer att överväga är av följande form:

Uppskatta +/- Felmarginal

Det betyder att det finns två siffror som vi kommer att behöva bestämma. Dessa värden är en uppskattning för önskad parameter, tillsammans med felmarginalen.

Innan du utför något statistiskt test eller förfarande är det viktigt att se till att alla villkor är uppfyllda. För ett konfidensintervall för en befolkningsandel, måste vi se till att följande håller:

• Vi har en enkelt slumpmässigt prov av storlek n från en stor befolkning
• Våra individer har valts oberoende av varandra.
• Det finns minst 15 framgångar och 15 misslyckanden i vårt urval.

Om den sista artikeln inte är nöjd, kan det vara möjligt att justera vårt prov lite och använda a plus-fyra konfidensintervall. I det följande kommer vi att anta att alla ovanstående villkor är uppfyllda.

Vi börjar med uppskattningen för vår befolkningsandel. Precis som vi använder ett urval för att uppskatta ett populationsmedelvärde, använder vi ett urval för att uppskatta en befolkningsandel. Befolkningsandelen är en okänd parameter. Proportandelen är en statistik. Denna statistik hittas genom att räkna antalet framgångar i vårt prov och sedan dela med det totala antalet individer i urvalet.

Befolkningsandelen betecknas med p och är självförklarande. Notationen för urvalsproportionen är lite mer involverad. Vi anger en provandel som p̂, och vi läser denna symbol som "p-hat" eftersom det ser ut som bokstaven p med hatt på toppen.

Detta blir den första delen av vårt förtroendeintervall. Uppskattningen av p är p̂.

För att bestämma formeln för felmarginen måste vi tänka på provtagningsfördelning av p̂. Vi måste veta medelvärdet, standardavvikelsen och den särskilda distribution som vi arbetar med.

Provtagningsfördelningen för p̂ är en binomial fördelning med sannolikhet för framgång p och n prövningar. Denna typ av slumpmässig variabel har ett medelvärde av p och standardavvikelse för (p(1 - p)/n)^0.5. Det finns två problem med detta.

Det första problemet är att en binomial distribution kan vara mycket svårt att arbeta med. Förekomsten av faktorer kan leda till några mycket stora antal. Det är här villkoren hjälper oss. Så länge våra villkor är uppfyllda, kan vi uppskatta binomialfördelningen med den normala normalfördelningen.

Det andra problemet är att standardavvikelsen för p̂ använder p i sin definition. Den okända populationsparametern ska uppskattas med samma parameter som felmarginal. Detta cirkulära resonemang är ett problem som måste åtgärdas.

Vägen ut ur detta problem är att ersätta standardavvikelsen med dess standardfel. Standardfel är baserade på statistik, inte parametrar. Ett standardfel används för att uppskatta en standardavvikelse. Det som gör denna strategi värdefull är att vi inte längre behöver veta parameterns värde s.

För att använda standardfelet ersätter vi den okända parametern p med statistiken p̂. Resultatet är följande formel för ett konfidensintervall för en befolkningsandel:

p̂ +/- z * (p̂ (1 - p̂) /n)^0.5.

Här värdet av z * bestäms av vår nivå av förtroende C. För den normala normalfördelningen, exakt C procent av den normala normalfördelningen är mellan -z * och z *. Gemensamma värden för z * inkludera 1.645 för 90% förtroende och 1.96 för 95% förtroende.

Låt oss se hur den här metoden fungerar med ett exempel. Anta att vi med 95% förtroende vill veta procenten av väljare i ett län som identifierar sig som demokratisk. Vi genomför ett enkelt slumpmässigt urval av 100 personer i detta län och finner att 64 av dem identifierar sig som en demokrat.

Vi ser att alla villkor är uppfyllda. Uppskattningen av vår befolkningsandel är 64/100 = 0,64. Detta är värdet på provproportionen p̂, och det är mitten av vårt konfidensintervall.

Felmarginalen består av två delar. Den första är z*. Som vi sa, för 95% förtroende, värdet av z* = 1.96.

Den andra delen av felmarginen ges av formeln (p̂ (1 - p̂) /n)^0.5. Vi ställer in p̂ = 0.64 och beräknar = standardfelet som ska vara (0.64 (0.36) / 100)^0.5 = 0.048.

Vi multiplicerar dessa två siffror tillsammans och får en felmarginal på 0,09408. Slutresultatet är:

0.64 +/- 0.09408,

eller så kan vi skriva om detta till 54,592% till 73,408%. Därför är vi 95% säkra på att den verkliga befolkningsandelen av demokraterna befinner sig någonstans inom dessa procentandelar. Detta innebär att på lång sikt kommer vår teknik och formel att fånga befolkningsandelen på 95% av tiden.

Det finns ett antal idéer och ämnen som är anslutna till denna typ av förtroendevinter. Vi kan till exempel utföra ett hypotest som avser värdet på befolkningsandelen. Vi kan också jämföra två proportioner från två olika populationer.