Momentgenererande funktion för binomial distribution

Genomsnittet och variansen för en slumpmässig variabel X med en binomial sannolikhetsfördelning kan vara svårt att beräkna direkt. Även om det kan vara tydligt vad som måste göras för att använda definitionen av förväntat värde av X och X², själva genomförandet av dessa steg är en knepig jonglering av algebra och sammanfattningar. Ett alternativt sätt att bestämma medelvärdet och variansen för a binomial distribution är att använda ögonblicksgenererande funktion för X.

Börja med den slumpmässiga variabeln X och beskriv beskrivningen sannolikhetsfördelning mer specifikt. Prestera n oberoende Bernoulli-försök, som var och en har sannolikhet för framgång p och sannolikheten för misslyckande 1 - p. Således är sannolikhetsmassfunktionen

f (x) = C(n, x)p^x(1 – p)^{n - x}

Här termen C(n, x) anger antalet kombinationer av n element tagna x i taget, och x kan ta värdena 0, 1, 2, 3..., n.

Använd denna sannolikhetsmassafunktion för att erhålla en momentgenererande funktion av X:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿe^txC(n,x)>)p^x(1 – p)^{n - x}.

Det blir tydligt att du kan kombinera termerna med exponent för x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿ (pe^t)^xC(n,x)>)(1 – p)^{n - x}.

Vidare, med användning av den binomiella formeln, är uttrycket ovan helt enkelt:

M(t) = [(1 – p) + pe^t]ⁿ.

För att hitta betyda och varians, måste du veta båda M'(0) och M’’(0). Börja med att beräkna dina derivat och utvärdera sedan var och en av dem på t = 0.

Du kommer att se att det första derivatet av den ögonblickgenererande funktionen är:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Från detta kan du beräkna medelvärdet av sannolikhetsfördelningen. M(0) = n(pe⁰)[(1 – p) + pe⁰]^{n - 1} = np. Detta matchar det uttryck som vi erhöll direkt från definitionen av medelvärdet.

Beräkningen av variansen utförs på liknande sätt. Skilj först den ögonblicksgenererande funktionen igen, och sedan utvärderar vi detta derivat vid t = 0. Här ser du det

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – p) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

För att beräkna variansen för denna slumpmässiga variabel måste du hitta M’’(t). Här har du M’’(0) = n(n - 1)p² +np. Variansen σ² av din distribution är

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Även om denna metod är något involverad, är den inte så komplicerad som att beräkna medelvärdet och variansen direkt från sannolikhetsmassfunktionen.