Det är viktigt att veta hur man beräknar sannolikheten för en händelse. Vissa typer av händelser med sannolikhet kallas oberoende. När vi har ett par oberoende händelser kan vi ibland fråga: "Vad är troligt att båda dessa händelser inträffar?" I denna situation kan vi helt enkelt multiplicera våra två sannolikheter tillsammans.
Vi kommer att se hur man använder multiplikationsregeln för oberoende händelser. När vi har gått igenom grunderna kommer vi att se detaljerna i ett par beräkningar.
Vi börjar med en definition av oberoende händelser. I sannolikhet, två händelser är oberoende om resultatet av en händelse inte påverkar resultatet av den andra händelsen.
Ett bra exempel på ett par oberoende händelser är när vi rullar en dyn och sedan vänder ett mynt. Antalet som visas på matrisen har ingen effekt på myntet som kastades. Därför är dessa två händelser oberoende.
Ett exempel på ett par händelser som inte är oberoende är könet för varje barn i en uppsättning tvillingar. Om tvillingarna är identiska, kommer de båda att vara manliga, eller båda är kvinnliga.
Multiplikationsregeln för oberoende händelser relaterar sannolikheten för två händelser till sannolikheten att de båda inträffar. För att använda regeln måste vi ha sannolikheten för var och en av de oberoende händelserna. Med tanke på dessa händelser anger multiplikationsregeln sannolikheten att båda händelserna inträffar genom att multiplicera sannolikheterna för varje händelse.
Beteckna händelser EN och B och sannolikheterna för varje P (A) och P (B). Om EN och B är oberoende händelser, då:
Vissa versioner av denna formel använder ännu fler symboler. I stället för ordet "och" kan vi istället använda skärningssymbolen: ∩. Ibland används denna formel som definition av oberoende händelser. Händelser är oberoende om och bara om P (A och B) = P (A) x P (B).
Vi kommer att se hur man använder multiplikationsregeln genom att titta på några exempel. Antag först att vi rullar en sexsidig munstycke och sedan vänder ett mynt. Dessa två händelser är oberoende. Sannolikheten för att rulla en 1 är 1/6. Sannolikheten för ett huvud är 1/2. Sannolikheten för att rulla en 1 och att få ett huvud är 1/6 x 1/2 = 1/12.
Om vi var benägna att vara skeptiska till detta resultat är detta exempel litet nog att alla resultat kan listas: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Vi ser att det finns tolv resultat, som alla lika sannolikt inträffar. Därför är sannolikheten för 1 och ett huvud 1/12. Multiplikationsregeln var mycket effektivare eftersom den inte krävde att vi listade hela provutrymmet.
För det andra exemplet, anta att vi drar ett kort från en standarddäck, byt ut detta kort, blanda däcket och dra sedan igen. Vi frågar sedan vad som är sannolikheten för att båda korten är kungar. Sedan vi har dragit med utbyte, dessa händelser är oberoende och multiplikationsregeln gäller.
Sannolikheten för att dra en kung för det första kortet är 1/13. Sannolikheten för att dra en kung på den andra dragningen är 1/13. Anledningen till detta är att vi byter ut kungen som vi drog från första gången. Eftersom dessa händelser är oberoende använder vi multiplikationsregeln för att se att sannolikheten för att dra två kungar ges av följande produkt 1/13 x 1/13 = 1/169.
Om vi inte ersatte kungen, skulle vi ha en annan situation där händelserna inte skulle vara oberoende. Sannolikheten för att dra en kung på det andra kortet påverkas av resultatet av det första kortet.