Setteori är ett grundläggande koncept i hela matematiken. Denna gren av matematik utgör en grund för andra ämnen.
Intuitivt är en uppsättning en samling objekt som kallas element. Även om detta verkar som en enkel idé har det några vidsträckta konsekvenser.
element
Elementen i en uppsättning kan verkligen vara vad som helst - nummer, tillstånd, bilar, människor eller till och med andra uppsättningar är alla möjligheter för element. Nästan allt som kan samlas ihop kan användas för att bilda en uppsättning, även om det finns några saker vi måste vara försiktiga med.
Lika uppsättningar
Element i en uppsättning finns antingen i en uppsättning eller inte i en uppsättning. Vi kan beskriva en uppsättning av en definierande egenskap, eller vi kan lista upp elementen i uppsättningen. Ordningen att de listas är inte viktig. Så seten {1, 2, 3} och {1, 3, 2} är lika stora, eftersom de båda innehåller samma element.
Två specialuppsättningar
Två uppsättningar förtjänar särskilt omnämnande. Den första är den universella uppsättningen, typiskt betecknad
U. Denna uppsättning är alla de element som vi kan välja mellan. Denna uppsättning kan skilja sig från en inställning till nästa. Till exempel kan en universaluppsättning vara uppsättningen av riktiga nummer Medan för ett annat problem den universella uppsättningen kan vara hela siffrorna {0, 1, 2, ...}.Den andra uppsättningen som kräver viss uppmärksamhet kallas tom uppsättning. Den tomma uppsättningen är den unika uppsättningen är uppsättningen utan element. Vi kan skriva detta som {} och beteckna denna uppsättning med symbolen ∅.
Undergrupper och strömförsörjningen
En samling av några av elementen i en uppsättning EN kallas a delmängd av EN. Vi säger det EN är en delmängd av B om och bara om alla delar av EN är också en del av B. Om det finns ett ändligt antal n av element i en uppsättning, då finns det totalt 2n delmängder av EN. Denna samling av alla delmängder av EN är en uppsättning som kallas strömförsörjning av EN.
Ställ in operationer
Precis som vi kan utföra operationer som tillägg - på två siffror för att få ett nytt nummer, används setteorioperationer för att bilda en uppsättning från två andra uppsättningar. Det finns ett antal operationer, men nästan alla består av följande tre operationer:
- Union - En fackförening betecknar ett sammanförande. Föreningen mellan uppsättningarna EN och B består av elementen som finns i endera EN eller B.
- Genomskärning - En korsning är där två saker möts. Korsningen mellan uppsättningarna EN och B består av elementen som i båda EN och B.
- Komplement - Komplementet av uppsättningen EN består av alla elementen i den universella uppsättningen som inte är delar av EN.
Venn Diagram
Ett verktyg som hjälper till att skildra förhållandet mellan olika uppsättningar kallas ett Venn-diagram. En rektangel representerar den universella uppsättningen för vårt problem. Varje uppsättning representeras med en cirkel. Om cirklarna överlappar varandra illustrerar detta skärningspunkten mellan våra två uppsättningar.
Applications of Set Theory
Uppsättningsteori används i hela matematiken. Det används som en grund för många underfält av matematik. Inom statistikområdena används den särskilt med sannolikhet. Många av sannolikhetsbegreppen härrör från konsekvenserna av uppsättningsteori. Ett sätt att säga axiomer av sannolikhet involverar uppsättningsteori.