Historien om algebra

Olika härledningar av ordet "algebra", som är av arabiskt ursprung, har givits av olika författare. Det första omnämnandet av ordet finns i titeln på ett verk av Mahommed ben Musa al-Khwarizmi (Hovarezmi), som blomstrade i början av 900-talet. Den fullständiga titeln är ilm al-jebr wa'l-muqabala, som innehåller idéerna om restitution och jämförelse, eller opposition och jämförelse, eller upplösning och ekvation, jebr härleds från verbet Jabara, att återförenas, och muqabala, från Gabala, att göra lika. (Roten Jabara är också mött i ordet algebrista, vilket betyder en "ben-setter" och är fortfarande vanligt i Spanien.) Samma härledning ges av Lucas Paciolus (Luca Pacioli), som återger frasen i den translittererade formen alghebra e almucabala, och tillskriver arabierna uppfinningen av konsten.

Andra författare har härlett ordet från den arabiska partikeln al (den definitiva artikeln), och Gerber, som betyder "man." Eftersom Geber emellertid råkade vara namnet på en berömd morisk filosof som blomstrade i ungefär 11: e eller 1100-talet har det antagits att han var grundaren av algebra, som sedan dess har försvarat namn. Beviset från Peter Ramus (1515-1572) på denna punkt är intressant, men han ger ingen myndighet för sina singulära uttalanden. I förordet till hans

instagram viewer

Arithmeticae libri duo et totidem Algebrae (1560) säger han: "Namnet Algebra är syriskt, vilket betyder konsten eller doktrinen för en utmärkt man. För Geber, i Syriac, är ett namn som tillämpas på män och är ibland en hedersbeteckning, som mästare eller läkare bland oss. Det fanns en viss lärd matematiker som skickade sin algebra, skriven på det syriska språket, till Alexander den stora, och han gav den namnet almucabala, det vill säga boken av mörka eller mystiska saker, som andra hellre vill kalla doktrinen om algebra. Till denna dag är samma bok mycket uppskattad bland lärda i de orientaliska länderna, och av indierna, som kultiverar denna konst, kallas den aljabra och alboret; även om författarens namn inte är känt. "Den osäkra myndigheten i dessa uttalanden, och sannolikheten för föregående förklaring har fått filologer att acceptera härledningen från al och Jabara. Robert Recorde i hans Whetstone of Witte (1557) använder varianten algeber, medan John Dee (1527-1608) bekräftar det algiebar, och inte algebra, är rätt form och vädjar till myndigheten hos den arabiska Avicenna.

Även om termen "algebra" nu är i allmänt bruk, användes olika andra benämningar av de italienska matematikerna under renässansen. Således finner vi Paciolus som kallar det l'Arte Magiore; ditta dal vulgo la Regula de la Cosa över Alghebra e Almucabala. Namnet l'arte magiore, den större konsten är utformad för att skilja den från l'arte minore, den mindre konst, en term som han använde för den moderna aritmetiken. Hans andra variant, la regula de la cosa, sakens regel eller okända mängd verkar ha varit vanligt i Italien och ordet cosa bevarades under flera århundraden i formerna coss eller algebra, cossic eller algebraic, cossist eller algebraist, & c. Andra italienska författare benämndes det Regula rei et census, sakens och produktens regel eller roten och torget. Principen som ligger bakom detta uttryck finns troligen i det faktum att det mätte gränserna för deras prestationer i algebra, för de kunde inte lösa ekvationer av högre grad än kvadratiska eller fyrkant.

Franciscus Vieta (Francois Viete) namngav det Specious Arithmetic, på grund av arten av de inblandade kvantiteterna, som han symboliskt representerade av alfabetets bokstäver. Sir Isaac Newton introducerade termen Universal Arithmetic, eftersom det handlar om doktrinen om operationer, inte påverkade på antal, utan på allmänna symboler.

Trots dessa och andra idiosynkratiska benämningar har europeiska matematiker fäst sig vid det äldre namnet, vilket ämnet nu är allmänt känt.

Fortsätter på sidan två.

Detta dokument är en del av en artikel om Algebra från 1911-upplagan av en encyklopedi, som är upphovsrättsligt här i USA. Artikeln är i allmän domän, och du kan kopiera, ladda ner, skriva ut och distribuera det här arbetet som du ser passa.

Alla ansträngningar har gjorts för att presentera denna text exakt och rent, men inga garantier görs mot fel. Varken Melissa Snell eller About får hållas ansvariga för problem som du upplever med textversionen eller med någon elektronisk form av detta dokument.

Det är svårt att tilldela uppfinningen av någon konst eller vetenskap definitivt till en viss ålder eller ras. De få fragmentära uppgifterna, som har kommit ner till oss från tidigare civilisationer, får inte betraktas som representerande helheten av deras kunskap och utelämnandet av en vetenskap eller konst innebär inte nödvändigtvis att vetenskapen eller konsten var det okänd. Det var tidigare sedvanen att tilldela grekerna uppfinningen av algebra, men sedan dekrypteringen av Rhind papyrus av Eisenlohr har denna uppfattning förändrats, för i detta arbete finns det tydliga tecken på en algebraisk analys. Den speciella problema-högen (hau) och den sjunde gör att det är löst eftersom vi nu borde lösa en enkel ekvation; men Ahmes varierar sina metoder i andra liknande problem. Denna upptäckt bär uppfinningen av algebra tillbaka till cirka 1700 f.Kr., om inte tidigare.

Det är troligt att egyptiernas algebra var av den mest rudimentära karaktären, för annars skulle vi förvänta oss att hitta spår av den i de grekiska aometerns verk. varav Thales of Miletus (640-546 f.Kr.) var den första. Trots författarnas ofta och antalet skrifter, alla försök att utvinna en algebraisk analys från deras geometriska teorier och problem har varit fruktlösa, och det medges allmänt att deras analys var geometrisk och hade liten eller ingen anknytning till algebra. Det första befintliga arbetet som närmar sig en avhandling om algebra är av Diophantus (q.v.), en Alexandrisk matematiker, som blomstrade omkring A.D. 350. Originalet, som bestod av ett förord och tretton böcker, är nu förlorat, men vi har en latin översättning av de första sex böckerna och en fragment av ett annat på polygonala nummer av Xylander från Augsburg (1575), och latinska och grekiska översättningar av Gaspar Bachet de Merizac (1621-1670). Andra utgåvor har publicerats, av vilka vi kan nämna Pierre Fermats (1670), T. L. Heath's (1885) och P. Garverier (1893-1895). I förordet till detta verk, som är tillägnad en Dionysius, förklarar Diophantus sin notation, namngör torget, kuben och fjärde krafterna, dynamis, cubus, dynamodinimus, och så vidare, beroende på summan i index. Det okända han uttrycker arithmos, antalet, och i lösningar markerar han det med de sista s; han förklarar maktgenereringen, reglerna för multiplikation och delning av enkla kvantiteter, men han behandlar inte tillsats, subtraktion, multiplikation och uppdelning av förening mängder. Sedan fortsätter han med att diskutera olika artefekt för förenkling av ekvationer, vilket ger metoder som fortfarande är i vanligt bruk. I arbetets kropp visar han betydande uppfinningsrikedom när han reducerar sina problem till enkla ekvationer, som medger antingen en direkt lösning, eller faller in i klassen känd som obestämda ekvationer. Denna senare klass diskuterade han så försiktigt att de ofta är kända som Diophantine-problem, och metoderna för att lösa dem som Diophantine analys (se EQUATION, obestämd.) Det är svårt att tro att detta arbete av Diophantus uppstod spontant under en period av allmän stagnation. Det är mer än troligt att han var skulderad till tidigare författare, som han utesluter att nämna, och vars verk nu går förlorade; ändå, men för detta arbete, bör vi få oss att anta att algebra nästan, om inte helt, okänd för grekerna.

Romarna, som efterträdde grekerna som den viktigaste civiliserade makten i Europa, lyckades inte sätta på sina litterära och vetenskapliga skatter; matematik var allt utom försummad; och utöver några förbättringar i aritmetiska beräkningar finns det inga materiella framsteg som kan registreras.

I den kronologiska utvecklingen av vårt ämne måste vi nu vända oss till Orienten. Undersökning av skrifter från indiska matematiker har visat en grundläggande skillnad mellan den grekiska och Indiskt sinne, varvid den förstnämnda i synnerhet geometrisk och spekulativ, den senare aritmetiska och huvudsakligen praktisk. Vi upptäcker att geometri försummades förutom i den mån den tjänade astronomin; trigonometri var avancerad, och algebra förbättrades långt utöver uppnåendet av Diophantus.

Fortsätter på sidan tre.

Den tidigaste indiska matematikern som vi har viss kunskap om är Aryabhatta, som blomstrade omkring början av 600-talet av vår tid. Denna astronom och matematiker berömmelse beror på hans arbete, Aryabhattiyam, vars tredje kapitel ägnas åt matematik. Ganessa, en framstående astronom, matematiker och scholiast av Bhaskara, citerar detta arbete och nämner separat cuttaca ("pulveriserare"), en anordning för att åstadkomma lösningen av obestämda ekvationer. Henry Thomas Colebrooke, en av de tidigaste moderna utredarna av hinduisk vetenskap, förutsätter att avhandlingen av Aryabhatta utvidgades för att bestämma kvadratiska ekvationer, obestämda ekvationer för den första graden och förmodligen av andra. Ett astronomiskt verk, kallad Surya-siddhanta ("kunskap om solen"), om osäker författarskap och förmodligen tillhörde det fjärde eller det femte århundradet, ansågs av stor förtjänst av hinduerna, som rankade det bara som andra för Brahmagupta-arbetet, som blomstrade ungefär ett sekel senare. Det är av stort intresse för den historiska studenten, för den visar påverkan av grekisk vetenskap på indisk matematik under en period före Aryabhatta. Efter ett intervall på ungefär ett sekel, under vilket matematiken nådde sin högsta nivå, blomstrade det Brahmagupta (b. A.D. 598), vars arbete med titeln Brahma-sphuta-siddhanta ("Det reviderade systemet för Brahma") innehåller flera kapitel ägnade åt matematik. Av andra indiska författare kan nämnas Cridhara, författaren till en Ganita-sara ("Quintessence of Calculation") och Padmanabha, författaren till en algebra.

En period med matematisk stagnation verkar då ha haft det indiska sinnet under ett intervall av flera århundraden, för nästa författares verk i varje ögonblick står bara lite före Brahmagupta. Vi hänvisar till Bhaskara Acarya, vars arbete Siddhanta-ciromani ("Diadem of anastronomical System"), skriven 1150, innehåller två viktiga kapitel, Lilavati ("the vackra [vetenskap eller konst] ") och Viga-ganita (" rot-extraktion "), som ger upp till aritmetik och algebra.

Engelska översättningar av de matematiska kapitlen i Brahma-siddhanta och Siddhanta-ciromani av H. T. Colebrooke (1817) och av Surya-siddhanta Hejdå. Burgess, med anteckningar av W. D. Whitney (1860), kan konsulteras för detaljer.

Frågan om grekerna lånade sin algebra från hinduerna eller vice versa har varit föremål för mycket diskussion. Det råder ingen tvekan om att det fanns en konstant trafik mellan Grekland och Indien, och det är mer än troligt att ett utbyte av produkter skulle åtföljas av en idéöverföring. Moritz Cantor misstänker påverkan av diofantinmetoder, mer specifikt på hinduerna lösningar av obestämda ekvationer, där vissa tekniska termer, med all sannolikhet, är av Grekiskt ursprung. Men det kan vara, det är säkert att hinduistiska algebraister var långt före Diophantus. Bristerna i den grekiska symboliken åtgärdades delvis; subtraktion betecknades genom att placera en prick över subtrahend; multiplikation genom att placera bha (en förkortning av bhavita, "produkten") efter factom; uppdelning genom att placera delaren under utdelningen; och kvadratrot, genom att infoga ka (en förkortning av karana, irrationell) före kvantiteten. Det okända kallades yavattavat, och om det fanns flera, tog de första denna appellation, och de andra utsågs med namnen på färger; till exempel betecknades x av ya och y av ka (från kalaka, svart).

Fortsätter på sidan fyra.

En anmärkningsvärd förbättring av idéerna från Diophantus kan hittas i det faktum att hinduerna erkände förekomsten av två rötter av en kvadratisk ekvation, men de negativa rötterna ansågs vara otillräckliga, eftersom ingen tolkning kunde hittas för dem. Det antas också att de förutsåg upptäckter av lösningarna i högre ekvationer. Stora framsteg gjordes i studien av obestämda ekvationer, en gren av analys där Diophantus utmärkte sig. Men medan Diophantus syftade till att erhålla en enda lösning, strävde hinduerna efter en allmän metod med vilket eventuella obestämda problem kunde lösas. I detta var de helt framgångsrika, för de fick generella lösningar för ekvationerna ax (+ eller -) med = c, xy = ax + by + c (sedan återupptäckt av Leonhard Euler) och cy2 = ax2 + b. Ett särskilt fall av den sista ekvationen, nämligen y2 = ax2 + 1, beskattade kraftigt resurserna för moderna algebraister. Det föreslogs av Pierre de Fermat till Bernhard Frenicle de Bessy och 1657 till alla matematiker. John Wallis och Lord Brounker erhöll tillsammans en tråkig lösning som publicerades 1658 och därefter 1668 av John Pell i hans Algebra. En lösning gavs också av Fermat i hans förhållande. Även om Pell inte hade något att göra med lösningen, har eftertiden betecknat ekvationen Pell's Equation, eller Problem, när mer rätt det borde vara Hindu Problemet, i erkännande av de matematiska uppnådden av Brahmans.

Hermann Hankel har påpekat beredskapen som hinduerna passerade från antal till storlek och vice versa. Även om denna övergång från det diskontinuerliga till det kontinuerliga inte är riktigt vetenskapligt, förstärkte det ändå utvecklingen av algebra och Hankel bekräftar att om vi definierar algebra som tillämpning av aritmetiska operationer på både rationella och irrationella antal eller storheter, då är Brahmans de verkliga uppfinnarna av algebra.

Integrationen av de spridda stammarna i Arabien på 700-talet av den rörande religiösa propaganda av Mahomet åtföljdes av en meteorisk ökning av de intellektuella krafterna i en hittills otydlig ras. Araberna blev vårdnadshavare av indisk och grekisk vetenskap, medan Europa hyrdes av interna skillnader. Under abbasidernas styre blev Bagdad centrum för vetenskaplig tanke; läkare och astronomer från Indien och Syrien flockade till deras domstol; Grekiska och indiska manuskript översattes (ett verk påbörjad av kalifen Mamun (813-833) och fortsatte med gott resultat av hans efterträdare); och på ungefär ett sekel placerades araberna i de stora butikerna med grekiskt och indiskt lärande. Euclids element översattes först i regeringen av Harun-al-Rashid (786-809) och omarbetades efter Mamuns ordning. Men dessa översättningar betraktades som ofullkomliga, och det återstod för Tobit ben Korra (836-901) att producera en tillfredsställande upplaga. Ptolemaios Almagest, Apollonius, Archimedes, Diophantus och delar av Brahmasiddhanta översattes också. Den första anmärkningsvärda arabiska matematikern var Mahommed ben Musa al-Khwarizmi, som blomstrade under Mamuns regeringstid. Hans avhandling om algebra och aritmetik (den senare delen endast finns i form av en latinsk översättning, upptäckt 1857) innehåller inget som var okänt för grekerna och hinduerna; den visar metoder förbundna med de från båda raserna, med det grekiska elementet dominerande. Den del som ägnas åt algebra har titeln al-jeur wa'lmuqabala, och aritmetiken börjar med "Talat har Algoritmi", namnet Khwarizmi eller Hovarezmi har gått in i ordet Algoritmi, som vidare har omvandlats till den mer moderna ordalgorismen och algoritmen, vilket betyder en metod för datoranvändning.

Fortsätter på sidan fem.

Tobit ben Korra (836-901), född på Harran i Mesopotamia, en utförd lingvist, matematiker och astronom, gjorde synlig tjänst genom sina översättningar av olika grekiska författare. Hans undersökning av egenskaperna hos minnesvärden (q.v.) och problemet med att snitta en vinkel är av betydelse. Arabierna liknade närmare hinduerna än grekerna i valet av studier; deras filosofer blandade spekulativa avhandlingar med den mer progressiva medicinstudien; deras matematiker försummade subtiliteten i de koniska avsnitten och diofantinanalysen och använde sig mer särskilt för att göra systemet för siffror (se NUMERAL), aritmetik och astronomi (q.v ..) Det kom alltså till att medan vissa framsteg gjordes i algebra, gavs loppens talanger astronomi och trigonometri (q.v ..) Fahri des al Karbi, som blomstrade i början av 11-talet, är författaren till det viktigaste arabiska arbetet med algebra. Han följer metoderna från Diophantus; hans arbete med obestämda ekvationer liknar inte de indiska metoderna och innehåller inget som inte kan samlas in från Diophantus. Han löst kvadratiska ekvationer både geometriskt och algebraiskt, och även ekvationer av formen x2n + axn + b = 0; han bevisade också vissa förhållanden mellan summan av de första n naturliga siffrorna och summan av deras kvadrater och kuber.

Kubiska ekvationer löstes geometriskt genom att bestämma skärningspunkten mellan koniska sektioner. Archimedes problem med att dela en sfär med ett plan i två segment med ett föreskrivet förhållande var först uttryckt som en kubisk ekvation av Al Mahani, och den första lösningen gavs av Abu Gafar al Hazin. Bestämningen av sidan av en vanlig heptagon som kan vara inskriven eller omskriven till a den givna cirkeln reducerades till en mer komplicerad ekvation som först lyckades lösas av Abul Gud. Metoden för att lösa ekvationer geometriskt utvecklades avsevärt av Omar Khayyam från Khorassan, som blomstrade på 11-talet. Författaren ifrågasatte möjligheten att lösa kubik med ren algebra och biquadratik efter geometri. Hans första stridighet diskuterades inte förrän på 1500-talet, men hans andra avyttrades av Abul Weta (940-908), som lyckades lösa formerna x4 = a och x4 + ax3 = b.

Även om grunderna för den geometriska upplösningen av kubiska ekvationer ska tillskrivas grekerna (för Eutocius tilldelar Menaechmus två metoder för att lösa ekvationen x3 = a och x3 = 2a3), men arabernas efterföljande utveckling måste betraktas som en av deras viktigaste prestationer. Grekerna hade lyckats lösa ett isolerat exempel; araberna uppnådde den allmänna lösningen av numeriska ekvationer.

Stor uppmärksamhet har riktats mot de olika stilarna som de arabiska författarna har behandlat sitt ämne. Moritz Cantor har föreslagit att det en gång fanns två skolor, en med sympati med grekerna, den andra med hinduerna; och att även om de sistnämnda skrifterna först studerades, kastades de snabbt för de mer utsiktsfulla grekiska metoderna, så att bland de senare arabiska författarna praktiskt taget glömdes de indiska metoderna och deras matematik blev väsentligen grekisk i karaktär.

När vi vänder oss till araberna i väst hittar vi samma upplysta ande; Cordova, huvudstaden i det moriska imperiet i Spanien, var lika mycket ett centrum för lärande som Bagdad. Den tidigaste kända spanska matematikern är Al Madshritti (d. 1007), vars berömmelse bygger på en avhandling om minnesvärden och på skolorna som grundades av hans elever i Cordoya, Dama och Granada. Gabir ben Allah från Sevilla, vanligtvis kallad Geber, var en berömd astronom och tydligen skicklig i algebra, för det har antagits att ordet "algebra" är sammansatt från hans namn.

När det moriska imperiet började avta de lysande intellektuella gåvor som de hade så gott om näring under tre eller fyra århundraden blev försvagade, och efter den perioden misslyckades de med att producera en författare som var jämförbar med den från den 7: e till den 11: e århundraden.

Fortsätter på sidan sex.