Lösningar för utmanande räkningsproblem

Räkna kan verka som en enkel uppgift att utföra. När vi går djupare in i området matematik känd som kombinatorik, inser vi att vi stöter på ett stort antal. Sedan faktoriell dyker upp så ofta och ett nummer som 10! är större än tre miljon, kan räkneproblem kompliceras mycket snabbt om vi försöker lista upp alla möjligheter.

Ibland när vi överväger alla de möjligheter som våra räkningsproblem kan ta på sig, är det lättare att tänka igenom de underliggande principerna för problemet. Denna strategi kan ta mycket mindre tid än att försöka brute force att lista upp ett antal kombinationer eller permutationer.

Frågan "Hur många sätt kan man göra?" är en helt annan fråga helt från "Vad är vägarna? att något kan göras? "Vi kommer att se denna idé på jobbet i följande uppsättning utmanande räkning problem.

Följande uppsättning frågor involverar ordet TRIANGLE. Observera att det finns totalt åtta bokstäver. Låt det förstås att vokaler av ordet TRIANGLE är AEI, och konsonanterna för ordet TRIANGLE är LGNRT. För en verklig utmaning, innan du läser ytterligare, kolla in en version av dessa problem utan lösningar.

1. Hur många sätt kan bokstäverna i ordet TRIANGLE ordnas?
   Lösning: Här finns totalt åtta val för den första bokstaven, sju för den andra, sex för den tredje, och så vidare. Genom multiplikationsprincipen multiplicerar vi för totalt 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40,320 olika sätt.
2. Hur många sätt kan bokstäverna i ordet TRIANGLE ordnas om de tre första bokstäverna måste vara RAN (i exakt ordning)?
   Lösning: De tre första bokstäverna har valts för oss, vilket ger oss fem bokstäver. Efter RAN har vi fem val för nästa bokstav följt av fyra, sedan tre, sedan två och ett. Genom multiplikationsprincipen finns det 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 sätt att ordna bokstäverna på ett specifikt sätt.
3. Hur många sätt kan bokstäverna i ordet TRIANGLE ordnas om de tre första bokstäverna måste vara RAN (i vilken ordning som helst)?
   Lösning: Se på detta som två oberoende uppgifter: den första ordnar bokstäverna RAN, och den andra ordnar de andra fem bokstäverna. Det finns 3! = 6 sätt att ordna RAN och 5! Sätt att ordna de andra fem bokstäverna. Så det finns totalt 3! x 5! = 720 sätt att ordna bokstäverna i TRIANGLE som anges.
4. Hur många sätt kan bokstäverna i ordet TRIANGLE ordnas om de tre första bokstäverna måste vara RAN (i vilken ordning som helst) och den sista bokstaven måste vara en vokal?
   Lösning: Se på detta som tre uppgifter: den första ordnar bokstäverna RAN, den andra väljer en vokal ur I och E, och den tredje ordnar de andra fyra bokstäverna. Det finns 3! = 6 sätt att ordna RAN, 2 sätt att välja en vokal från de återstående bokstäverna och 4! Sätt att ordna de andra fyra bokstäverna. Så det finns totalt 3! X 2 x 4! = 288 sätt att ordna bokstäverna i TRIANGLE som anges.
5. Hur många sätt kan bokstäverna i ordet TRIANGLE ordnas om de tre första bokstäverna måste vara RAN (i någon ordning) och de följande tre bokstäverna måste vara TRI (i vilken ordning som helst)?
   Lösning: Återigen har vi tre uppgifter: den första ordnar bokstäverna RAN, den andra ordnar bokstäverna TRI och den tredje ordnar de andra två bokstäverna. Det finns 3! = 6 sätt att ordna RAN, 3! sätt att ordna TRI och två sätt att ordna de andra bokstäverna. Så det finns totalt 3! x 3! X 2 = 72 sätt att ordna bokstäverna i TRIANGLE som anges.
6. Hur många olika sätt kan bokstäverna i ordet TRIANGLE ordnas om ordningen och placeringen av vokalerna IAE inte kan ändras?
   Lösning: De tre vokalerna måste hållas i samma ordning. Nu finns det totalt fem konsonanter att ordna. Detta kan göras i 5! = 120 sätt.
7. Hur många olika sätt kan bokstäverna i ordet TRIANGLE ordnas om ordningen på vokalerna IAE inte kan ändras, även om deras placering kan (IAETRNGL och TRIANGEL är acceptabla men EIATRNGL och TRIENGLA är inte)?
   Lösning: Detta är bäst tänkt på i två steg. Steg ett är att välja de platser som vokalerna går. Här väljer vi tre platser av åtta, och ordningen att vi gör detta är inte viktigt. Detta är en kombination och det finns totalt C(8,3) = 56 sätt att utföra detta steg. De återstående fem bokstäverna kan ordnas i 5! = 120 sätt. Detta ger totalt 56 x 120 = 6720 arrangemang.
8. Hur många olika sätt kan bokstäverna i ordet TRIANGLE ordnas om ordningen på vokalerna IAE kan ändras, men deras placering kanske inte?
   Lösning: Det här är verkligen samma sak som nr 4 ovan, men med olika bokstäver. Vi ordnar tre bokstäver i 3! = 6 sätt och de andra fem bokstäverna i 5! = 120 sätt. Det totala antalet sätt för detta arrangemang är 6 x 120 = 720.
9. Hur många olika sätt kan sex bokstäver i ordet TRIANGLE ordnas?
   Lösning: Eftersom vi talar om ett arrangemang är detta en permutation och det finns totalt P( 8, 6) = 8!/2! = 20,160 sätt.
10. Hur många olika sätt kan sex bokstäver i ordet TRIANGLE ordnas om det måste finnas ett lika antal vokaler och konsonanter?
    Lösning: Det finns bara ett sätt att välja de vokaler vi ska placera. Att välja konsonanter kan göras i C(5, 3) = 10 sätt. Det finns då 6! sätt att ordna de sex bokstäverna. Multiplicera dessa nummer tillsammans för resultatet av 7200.
11. Hur många olika sätt kan sex bokstäver i ordet TRIANGLE ordnas om det måste finnas minst en konsonant?
    Lösning: Varje arrangemang med sex bokstäver uppfyller villkoren, så det finns det P(8, 6) = 20,160 sätt.
12. Hur många olika sätt kan sex bokstäver i ordet TRIANGLE ordnas om vokalerna måste växla med konsonanter?
    Lösning: Det finns två möjligheter, den första bokstaven är en vokal eller den första bokstaven är en konsonant. Om den första bokstaven är en vokal har vi tre val, följt av fem för en konsonant, två för en andra vokal, fyra för en andra konsonant, ett för den sista vokalen och tre för den sista konsonanten. Vi multiplicerar detta för att få 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Genom symmetriargument finns det samma antal arrangemang som börjar med en konsonant. Detta ger totalt 720 arrangemang.
13. Hur många olika uppsättningar med fyra bokstäver kan bildas av ordet TRIANGLE?
    Lösning: Eftersom vi pratar om a uppsättning av fyra bokstäver från totalt åtta är ordningen inte viktig. Vi måste beräkna kombinationen C(8, 4) = 70.
14. Hur många olika uppsättningar med fyra bokstäver kan bildas av ordet TRIANGLE som har två vokaler och två konsonanter?
    Lösning: Här bildar vi vår uppsättning i två steg. Det finns C(3, 2) = 3 sätt att välja två vokaler från totalt 3. Det finns C(5, 2) = 10 sätt att välja konsonanter från de fem tillgängliga. Detta ger totalt 3x10 = 30 uppsättningar möjliga.
15. Hur många olika uppsättningar med fyra bokstäver kan bildas av ordet TRIANGLE om vi vill ha minst en vokal?
    Lösning: Detta kan beräknas enligt följande:

• Antalet uppsättningar på fyra med en vokal är C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Antalet uppsättningar på fyra med två vokaler är C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Antalet uppsättningar på fyra med tre vokaler är C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Detta ger totalt 65 olika uppsättningar. Alternativt kan vi beräkna att det finns 70 sätt att bilda en uppsättning med fyra bokstäver och subtrahera C(5, 4) = 5 sätt att få en uppsättning utan vokaler.